in musicologia, teoria musical

Consertos e Concertos

José Fornari (Tuti) – 10 de abril de 2019

fornari @ unicamp . br


O artigo anterior explicou como o intervalo de quinta justa, correspondendo à razão de afinação (frequência fundamental das notas) de 3/2 ou seja 1,5 permite criar uma escala cromática justa de 12 notas. Porém esta não apresenta uma razão de oitava justa. Ao invés de apresentar a razão de 2 entre notas distanciadas de uma 12 semitons, a escala justa apresenta, como foi tratado anteriormente, uma razão de ~ 2,027286529541016, o que corresponde a uma diferença de 2,346 cents acima da afinação do que seria uma oitava justa. Já na escala cromática afinada no sistema temperado, a razão de afinação da oitava é de fato justa, ou seja, exatamente igual a 2. A razão de afinação entre cada umas das 12 notas consecutivas (que equivale a um intervalo de semitom, ou seja, uma segunda menor) na escala cromática temperada é calculada pela divisão uniforme da razão de oitava justa (2) em 12 partes com razão igual, ou seja, 2^(1/12) ~ 1,059463094359295. Assim, tem-se as seguintes razões intervalares da escala cromática temperada:

2^(0/12) = 1 (uníssono)

2^(1/12) = 1,059463… (1 semitom) (segunda menor)

2^(2/12) = 1,122462… (2 semitons ou 1 tom) (segunda maior)

2^(3/12) = 1,189207… (3 semitons) (terça menor)

2^(4/12) = 1,259921… (4 semitons ou 2 tons) (terça maior)

2^(5/12) = 1,334840… (5 semitons ou 1 tetracorde) (quarta)

2^(6/12) = 1,414214… (6 semitons ou 3 tons) (trítono)

2^(7/12) = 1,498307… (7 semitons) (quinta)

2^(8/12) = 1,587401… (8 semitons ou 4 tons) (sexta menor)

2^(9/12) = 1,681793… (9 semitons) (sexta maior)

2^(10/12) = 1,781797… (10 semitons ou 4 tons) (sétima menor)

2^(11/12) = 1,887749… (11 semitons) (sétima maior)

2^(12/12) = 2 (12 semitons) (oitava justa)

Tem-se assim que a quinta na escala temperada, apesar de muito próxima, não é exatamente justa pois está levemente abaixo da quinta da escala justa (que seria dada pela razão de 3/2 = 1,5). A quinta da escala temperada está menos de 2 cents abaixo da quinta na escala justa (lembrando que 1 cent equivale a um centésimo de um semitom, ou seja, a razão de: 2^(1/1200)). Esta é uma diferença praticamente imperceptível, sendo que é comum considerar 5 cents como a menor variação perceptível de frequência de uma nota musical. A tabela abaixo mostra a diferença de intervalos entre a escala justa (conforme apresentada no artigo anterior) e a escala temperada (apresentada acima). Os valores foram arredondados.

Intervalo

Escala justa

Escala temperada

Razão

Diferença em cents

uníssono

1

1

1

0

segunda menor

1,0678

1,0595

1,0078

13,45

segunda maior

1,1250

1,1225

1,0022

3,80

terça menor

1,2013

1,1892

1,0102

17,57

terça maior

1,2656

1,2599

1,0045

7,77

quarta

1,3515

1,3348

1,0125

21,50

tritono

1,4238

1,4142

1,0068

11,73

quinta

1,5

1,4983

1,0011

1,90

sexta menor

1,6018

1,5874

1,0090

15,51

sexta maior

1,6875

1,6817

1,0034

5,87

sétima menor

1,8020

1,7818

1,0113

19,45

sétima maior

1,8984

1,8877

1,0057

9,84

oitava

2,0273

2

1,0136

23,38

Nota-se que praticamente todos os outros intervalos apresentam uma diferença de afinação acima dos 5 cents, o que significa que essas diferenças entre a escala justa e temperada é perceptível. Isto deve ter sido a razão pela qual a afinação temperada foi inicialmente refutada por diversos compositores e luthiers (artesãos que fabricam e reparam instrumentos musicais), conforme visto adiante.

Pelo fato da escala cromática afinada no sistema temperado não ser gerada a partir de uma frequência fundamental, esta mantêm uma relação uniforme entre a razão dos intervalos de frequência fundamental de suas notas consecutivas. Isto permite, por exemplo, que peças escritas em diferentes tonalidades sejam executadas no mesmo instrumento harmônico (os instrumentos que permitem a execução de diversas notas simultaneamente, como o violão e o piano), sem a necessidade de afiná-los novamente para cada tonalidade distinta. A dificuldade do sistema temperado é que as razões entre as frequências fundamentais de cada intervalo da escala cromática, com exceção da oitava justa, são todas dadas por números irracionais (números que não podem ser obtidos pela divisão de dois números inteiros). Assim, não existe um método simples (como a razão de quinta justa de 1,5 na afinação justa) para se criar uma escala afinada no sistema temperado. Tem-se registros de que Aristóxeno, já no século 4 AC, havia proposto um sistema de afinação temperado, porém a dificuldade de obtenção das proporções corretas de afinação de semitons e tons com os métodos disponíveis na época, fez com que este sistema de afinação demorasse mais de 20 séculos para ser de fato adotado. No século 18 DC, durante a época barroca, surgiram diversos métodos de afinação temperada, normalmente baseados em tabelas contendo as razões de frequência entre intervalos. Zhu Zaiyu, um príncipe da dinastia Ming, na China do século 16 DC, é considerado como sendo o primeiro a estabelecer um método matemático eficiente para gerar a afinação da escala temperada. Seu trabalho foi publicado no século 17 DC, por Matteo Ricci, um jesuíta que viveu na China, onde aprendeu tal método. Este fato é descrito no famoso livro “On the sensations of tones”, de Herman Von Helmholtz.

Durante o período barroco, luthiers de instrumentos harmônicos (ex: violão, cravo, órgão de tubo) começaram pouco a pouco a migrar para a fabricação de instrumentos no sistema temperado de afinação. Compositores como Angelo Michele Bartolotti, Girolamo Frescobaldi e, mais conhecido, Johan Sebastian Bach, compuseram diversas obras endossando o sistema temperado de afinação, onde peças eram normalmente compostas em diferentes tonalidades e executadas no mesmo instrumento, sem que sua afinação fosse modificada entre uma obra e outra, demonstrando assim a eficiência do sistema temperado. Este é o caso do “Cravo bem temperado”, de Bach, uma coletânea de 24 prelúdios e fugas dispostos em ordem crescente de tonalidade (a primeira dupla de preludio e fuga está na tonalidade de Dó maior, a segunda em Do menor, a terceira em C# maior, a quarta em C# menor, e assim sucessivamente, até a tonalidade de Si menor).

Estátua de Bach, em frente à igreja de San Thomas, em Leipzig, onde trabalhou como compositor por mais de 25 anos. Fonte: https://www.allposters.com/-sp/Statue-of-J-S-Bach-Courtyard-of-St-Thomas-Church-Leipzig-Germany-Posters_i9563316_.htm

Evitando a necessidade de consertar a afinação para realizar concertos em diferentes tonalidades, praticamente todos os instrumentos harmônicos da atualidade são construídos no sistema de afinação temperada (com excessões para os instrumentos de época, como o cravo, que podem eventualmente ser afinados no sistema justo a fim de exprimir a sonoridade original de concertos compostos especificamente no sistema justo). A palavra concerto, vem do século 17 DC, do italiano “concertare” que significa, “concordar” ou “harmonizar”. Neste período tornou-se comum que alguns compositores passarem a escrever a afinação da obra em seu título, de modo a facilitar com que os músicos afinassem seus instrumentos para aquela peça. Alguns exemplos de concertos com suas tonalidades descritas no título são: Concerto número 5 em Mi bemol de Beethoven, concerto para violino em Ré, de Brahms e Concerto para piano em Lá menor de Grieg.

No restante, instrumentos musicais harmônicos modernos (guitarras, teclados, baixos, pianos, marimbas, etc.) são todos construídos dentro do sistema de afinação temperada. Já os instrumentos tradicionais de orquestra, que são em sua maioria melódicos (permitem, no geral, a execução de uma única nota por vez) continuam sendo construídos no sistema de afinação justa. Isto provavelmente ocorre porque seu método de geração sonora é naturalmente baseado na série harmônica. Cordas (como o violino) não possuem trastes. Suas cordas são afinadas em quintas. Metais (como o trompete) são formados por uma tubulação cujo comprimento pode ser variado a partir de válvulas acionadas pelo músico, onde a escala é construída a partir de seus harmônicos. Madeiras (como o clarinete e a flauta) são baseados em tubos abertos (flauta) e fechados (clarinete), onde chaves permitem o músico abrir e fechar orifícios dispostos sobre os corpo do instrumento que, quando abertos, agem como se o tubo estivesse sido reduzido de tamanho até a posição do orifício, desse modo variando a afinação do som gerado. Num concerto de uma instrumento temperado (como um piano) com orquestra (afinação justa) os músicos da orquestra tem que realizar pequenas correções de afinação durante a performance de modo a diminuir o contraste perceptível de suas afinações no sistema justo com o sistema temperado.

Referências:

[1] Aristoxenus, The Harmonics of Aristoxenus, translated by Henry S. Macran, M.A., Oxford At The Clarendon Press, Henry Frowde, M.A., Publisher to the University of Oxford, New York, 1902, p249

[2] Siemen Terpstra. “Aristoxenus and Equal Temperament – a reinterpretation”. http://siementerpstra.com/aristoxenus/

[3] https://www.classicfm.com/discover-music/best-concertos/

[4] Open vs Closed pipes (Flutes vs Clarinets). Music and Acoustics. UNSW. https://newt.phys.unsw.edu.au/jw/flutes.v.clarinets.html

[5] Calculating cents http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/Music/cents.html


Como citar este artigo: 

José Fornari. “Consertos e concertos”. Blogs de Ciência da Universidade Estadual de Campinas. ISSN 2526-6187. Data da publicação: 10 de abril de 2019. Link: https://www.blogs.unicamp.br/musicologia/2019/04/10/15/

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