Demonstrar com charme

Já falamos muitas vezes neste blog sobre demonstrações, sua importância para a matemática e tudo mais. Contudo se engana quem pensa que matemáticos não valorizam a beleza, e não nos referimos aqui as formas geométricas e padrões geralmente associados à imagens. Queremos dizer uma charmosidade ligada aos resultados, mais precisamente, às demonstrações de teoremas.

Demonstrar uma conjectura é uma verdadeira briga de foice no escuro. Não há certo ou errado, o importante é sair de lá com a conjectura demonstrada (seja verdadeira ou falsa). Ninguém julgará um matemático por demonstrar uma conjectura a partir de argumentos obscuros, incontáveis passos e definições confusas… quem consegue demonstrar uma conjectura é em si um herói para esta parte da sociedade, pois uma vez que garantimos sua validade podemos usá-la para propriedades derivadas e como argumento para outras demonstrações. Mesmo que a demonstração revele que a conjectura é falsa, também é um estrondo de alegria, pois o trabalho em cima dela é então encerrado. Temos algumas conjecturas em aberto a mais de 300 anos e até hoje nenhuma certeza sobre elas serem verdadeiras ou falsas, e para piorar o quadro, tem dois teoremas (ou seja, afirmações cuja verdade já foi demonstrada) que nos garantem aspectos um tanto assustadores sobre essa área. O primeiro afirma que não importa quantos axiomas (verdades aceitas) iniciais assumimos, sempre existirão resultados que não poderão ser provados. O segundo afirma que não existe método para garantir que uma determinada afirmação não pode ser provada. Entendeu agora porque provar uma conjectura é uma conquista memorável?

Contudo, um trabalho não tão memorável mas de importância equivalente, aparece um tempo depois da primeira prova aparecer. Inicia-se um processo de lapidação naquele resultado, limpando-o de aspectos obscuros, tentando simplificá-lo ou atingindo-o a partir de abordagens alternativas. Ou seja, ocorre um esforço para deixar a prova daquele resultado, elegante ou charmosa.

Existem várias características que uma prova elegante ou charmosa pode ter, desde a simplicidade, a engenhosidade, a suavidade com que o texto e os termos se relacionam. A ideia em si para uma prova elegante ou charmosa, é que seja agradável de ser lida, não necessariamente que seja simples de ser entendida. Um exemplo agora ajudará a compreendermos esta pseudo-definição.

Tomemos o Teorema de Euclides, que afirma existirem infinitos números primos. Sua demonstração original apresentada por Euclides é a seguinte:

Suponha que existam apenas k primos, p1.p2…pk.
Tome n=p1.p2…pk.
Sendo n+1 maior que pk, n+1 não é primo e não tem um divisor comum com n.
Sendo pj divisor de n e n+1, então divide (n+1)-n=1, o que é um absurdo
.

De fato este texto demonstra a existência de infinitos números primos, porém não é a única forma disso ocorrer. Vejamos uma demonstração parecida, mas que utiliza um resultado um tanto mais engenhoso.

É suficiente mostrar que para qualquer Natural n, existe um primo p maior do que n.
Para isto considere qualquer primo p que divida n!+1

Nessa demonstração, foi possível pular vários passos ao tratarmos de n! (n fatorial). Ou seja, em vez de se preocupar em definirmos o produto de apenas dos números primos, aqui já dizemos o produto dos n primeiros números Naturais. Ou seja, os primos aparecem ai, mas também levamos um monte de outros números que apesar de não ajudar, também não atrapalham. O resultado é uma demonstração extremamente curta, e por esse aspecto, tida como elegante ou charmosa.

Agora vejamos uma outra demonstração deste mesmo teorema, mas dessa vez não se parece em nada com a demonstração original, ela ganha sua charmosidade pela sua excentricidade.

Tome n>1 um Inteiro qualquer.
Sendo n e n+1 inteiros consecutivos, eles são primos relativos.
Então N2=n(n+1) deve ter pelo menos dois diferentes fatores primos.
Analogamente n(n+1) e n(n+1)+1 são inteiros consecutivos, e por isto primos relativos.
Assim N3=n(n+1)[n(n+1)+1] deve ter pelo menos três diferentes fatores primos.
Este processo pode ser continuado indefinidamente

Basicamente a demonstração desenvolve um método que garante a geração de números primos. Este método não é uma estratégia computacional interessante para encontrarmos números primos, mas ela é matematicamente segura, garantindo que se for repetida por um número qualquer de vezes, funcionará. Encontraremos assim infinitos números primos, e se isto ocorre, logo existem infinitos números primos.

Mas não se engane ao pensar que este trabalho tenha apenas um viés estético e que a charmosidade de uma demonstração seja um aspecto desnecessário. Como mencionamos antes, uma demonstração inédita é uma joia bruta, é admirada pelos especialistas porém muito distante de ser compreendida pela maioria das pessoas. O processo de melhorar sua aparência e estrutura, possibilita que o resultado seja compreendido por mais pessoas, e até mesmo a confiança de que o resultado é de fato válido, seja algo mais claro. Dentre outros aspectos, nos próprios livros textos de disciplinas, as demonstrações apresentadas são de preferência aquelas tidas como elegantes, facilitando que o estudante leia e entenda o resultado.

As três demonstrações do teorema de Euclides, foram extraídas e traduzidas do livro que aparece na capa deste post:
ALSINA, C.; NELSEN, R. B. Charming Proofs: A Journey Into Elegant Mathematics. Mathematical Association of America, 2010, p. 10.

Se você quer entender mais sobre esta elegância nas demonstrações, sugiro que leia:
SCHATTSCHNEIDER, D. Beauty and Truth in Mathematics. In: Sinclair N., Pimm D., Higginson W. (eds) Mathematics and the Aesthetic. CMS Books in Mathematics. Springer, New York, NY. 2006.

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