Os irmãos esquecidos de π

Na escola aprendemos que π é um número especial, uma constante obtida pelo perímetro de uma circunferência dividida por duas vezes o seu raio.

Uma maneira didática com que professores de matemática costumam apresentar esse conceito, é pedindo que os alunos encontrem circunferências pela escola, meçam seu perímetro, seu raio e depois realizem essa divisão. Ainda que percebamos pequenas variações resultantes nas próprias medições, o valor se aproxima do famoso número irracional π (ou seja, algo em torno de 3,14).

Um exemplo disso, é minha xícara de café aqui ao meu lado enquanto escrevo. Com uma fita métrica medi seu perímetro e seu diâmetro.

Dividindo 280 por 85, chegamos em 3,294. Sim, foi uma péssima medição da minha parte mas serve de exemplo 😀

O interessante, é que a existência de uma constante dada pela divisão do perímetro pelo dobro do seu raio, se mantêm para todos os polígonos regulares!

Podemos nesse caso definir o raio de duas maneiras:

raio-vértice: dado pela distância de um dos vértices até o centro do polígono;

raio-apótema: dado pela menor distância de uma aresta até o centro do polígono.

Esse problema de escolha não ocorre no círculo, pois todo ponto do seu contorno tem a mesma distância até o centro. Mas no caso dos polígonos regulares precisamos primeiro definir qual das categorias de raio estamos nos referindo. Por um gosto pessoal, dado que já existe o conceito de apótema, prefiro adotar o raio-vértice. Também por conveniência, chamaremos de diâmetro o dobro da medida de um raio-vértice.

Assim, pegando um triângulo regular cujo lado vale L, seu perímetro será dado por 3L (até aqui esta fácil);

Seu raio-vértice será dado por L/2 dividido por cos(30o), ou reescrevendo, L/[2.cos(30o)]. O valor do cos(30o) é sqrt(3)/2, logo, o raio-vértice será L/sqrt(3), e seu diâmetro será 2L/sqrt(3). Dividindo o perímetro pelo diâmetro, chegaremos numa constante que chamaremos de Bi, e ela será dada por 3L/(2L/sqrt(3). Como pode observar, temos a variável L no numerador e no denominador, e L é um comprimento, então L>0, assim o numerador e o denominador se anulam, restando apenas uma constante, que é aproximadamente 2,59807.

O mesmo raciocínio ocorre para um quadrado. Seu perímetro é dado por 4L, e seu diâmetro é dado por L.sqrt(2). Dividindo o perímetro pela diagonal novamente o numerador L se anula com o denominador L, restando apenas 4/sqrt(2), ou seja, uma constante que chamaremos de Ci e se aproxima de 2,82842.

Para ilustrar, também mostro o cálculo com um pentágono.

Um resultado mais geral pode ser notado para todos os polígonos regulares, pois o numerador será um produto de L unidades, enquanto o diâmetro estará em função de L, se anulando e restando apenas uma constante.

Interessante observar como numerador cresce de forma linear, enquanto o denominador cresce mais lentamente.

Isso faz com que a medida que o número de lados do polígono aumenta, vamos gerando constantes Di, Fi, Gi, … até chegarmos no nosso famoso (e por isso sem graça) π.

Uma expressão geral para o cálculo do diâmetro de qualquer polígono regular é L.cos(theta/2), onde L é o lado do polígono e theta é um ângulo interior do polígono.

Perímetro (L=1)Diâmetro (L=1)P/D
31,154700538379252,59807621135332
41,41421356237312,82842712474619
51,701301616704082,93892626146237
103,236067977499793,09016994374947
206,392453221499663,12868930080462
5015,92597110990873,13952597646566
10031,83622520909753,14107590781284
20063,66459530600073,14146346236413
20063,66459530600073,14146346236413
500159,1559902942673,14157198277953
1000318,3104097831383,14158748587987
2000636,6200341670593,14159136166168
50001591,549535638213,14159244688228
100003183,098914196463,14159260191397

Créditos à imagem de PublicDomainPictures por Pixabay

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