A pirâmide de hambúrgueres do Deus Netuno

No episódio 38 de Bob Esponja, intitulado “A Espátula De Netuno”, Bob Esponja retira a espátula dourada da pedra (referência à Rei Arthur e a Excalibur) e assim recebe o título de cozinheiro digno do Deus Netuno. Porém o próprio Deus Netuno vem recebê-lo mas despreza sua forma de esponja, preferindo qualquer um ali em vez dele. O resultado é que impõe um desafio ao Bob Esponja, um concurso no qual quem fizer primeiro 1.000 hambúrgueres será o vencedor.

Deus Netuno faz os hambúrgueres com seus poderes e criaturas marinhas que o servem, enquanto Bob Esponja faz seu primeiro hambúrguer com carinho… mas isso não vem ao caso. O ponto é, Deus Netuno termina os 1.000 hambúrgueres formando uma espécie de pirâmide de base quadrada. Então vem a questão, é possível empilhar estes 1.000 hambúrgueres desse jeito? Pois bem, a internet é um mundo a parte, e nem de longe fui o primeiro a pensar nisso. Na imagem abaixo, tem uma postagem de 2013 falando sobre esta mesma questão…

O autor desta postagem fez um cálculo simples, dado uma pirâmide de 23 andares, de cima para baixo, o último andar tem 1² hambúrguer, o penúltimo 2² hambúrgueres, o antepenúltimo 3², o seguinte 4², 5², 6²… até 23². Somando todos os andares teríamos 4.324 hambúrgueres.

Tudo bem, parece resolvido, mas se formos contar exatamente quantos hambúrgueres temos visíveis em cada fileira, perceberemos que várias delas tem quantidades repetidas, para ser mais preciso, temos de cima para baixo: 1; 2; 2; 3; 3; 4; 5; 6; 7; 7; 8; 8; 9; 10; 10; 11; 11; 12; 13; 14; 14; 15; 15.

Se elevarmos ao quadrado cada uma delas quantidades e depois somarmos… não obteremos 1.000 hambúrgueres… sim chegaremos em 2.008 hambúrgueres.

Mas você que adora Bob Esponja, não se preocupe, vamos consertar isso aqui… primeiro vamos a algumas regras, nenhum superior pode ter mais hambúrgueres do que um andar inferior. Por exemplo, se no andar 1 temos 100 hambúrgueres, no andar 2 devemos ter no máximo 100 hambúrgueres. Outro ponto que vamos fixar para começar nossa análise é que a pirâmide tem 23 andares. Por fim, o último andar da pirâmide tem exatamente 1 hambúrguer e o penúltimo tem exatamente 4. Apenas para deixar as coisas mais interessantes… vamos nos limitar a ter no máximo 2 andares com a mesma quantidade de hambúrgueres. Assim, se no andar 5 temos 64 hambúrgueres, o andar 4 ou (no sentido excludente) o andar 6 podem ter também 64 hambúrgueres, mas não ambos.

Nestas condições, o mínimo de hambúrgueres que teríamos seria:

Andar	Hambúrgueres
23	1
22	4
21	4
20	9
19	9
18	16
17	16
16	25
15	25
14	36
13	36
12	49
11	49
10	64
9	64
8	81
7	81
6	100
5	100
4	121
3	121
2	144
1	144

Cuja soma dá 1.299.

Um ponto que podemos pensar também, é que a pirâmide não seja de base quadrada e sim retangular, ou seja, há um número de hambúrgueres visíveis de um lado e um número visível do outro e não necessariamente ambos são iguais.

Vamos manter a regra do 23o andar ter 1 hambúrguer, do 22o andar ter 4 hambúrgueres, e fazendo a contagem que apresentei anteriormente, vamos tentar estipular quantos hambúrgueres deveriam ter do outro lado para formar esta pirâmide com exatamente 1.000 hambúrgueres, mantendo é claro as mesmas regras anteriores.

Andar	Supus	Contei	Hambúrgueres
1	1	1	1
2	2	2	4
3	2	2	4
4	2	3	6
5	3	3	9
6	3	4	12
7	3	5	15
8	3	6	18
9	3	7	21
10	3	7	21
11	3	8	24
12	4	8	32
13	4	9	36
14	5	10	50
15	5	10	50
16	5	11	55
17	5	11	55
18	6	12	72
19	6	13	78
20	6	14	84
21	7	14	98
22	8	15	120
23	9	15	135

Sim, observe que agora temos um total de hambúrgueres igual a 1.000. Porém você pode estar pensando, você supos vários andares com mesmas quantidades de hambúrgueres… isso era contra a regra, não é? Errado, antes estávamos trabalhando com pirâmides de base quadrada, ou seja, lado*lado. Porém agora estamos com pirâmides de base retangular, a condição diz que nenhum andar pode ter uma quantidade de hambúrgueres maior que seu andar anterior, e no máximo dois andares seguidos podem ter a mesma quantidade de hambúrgueres. Observe que estas condições nada se aplicam a quantidade de hambúrgueres do lado que eu precisei supor, basta que a coluna da direita que determina quantos hambúrgueres temos em cada andar esteja de acordo com estas regras.

No caso da pirâmide quadrada, as duas afirmações eram equivalentes, pois se eu tinha três andares seguidos com a mesma quantidade de hambúrgueres, obrigatoriamente eu teria três lados da pirâmide seguidos com a mesma quantidade visível de hambúrgueres. Porém quando mudamos a definição para uma pirâmide de base retangular, esta equivalência se perde, pois estamos agora considerando os hambúrgueres totais daquele andar, e isto não pode ser obtido apenas com a informação de um dos lados visíveis. Isso aumenta nossa flexibilidade de tratar o problema, permitindo assim encontrar a solução que foi apresentada.

Esse é um post simples, mas que no fundo discute uma coisa da qual os matemáticos são muito chatos, a forma correta de definirmos as componentes. Poderia parecer irrelevante uma pirâmide de base quadrada para uma pirâmide de base retangular, mas esta simples mudança na definição, já nos deu a maleabilidade necessária para resolver este problema que como mostramos anteriormente, não tinha solução com uma pirâmide de base quadrada. Assim fica o conselho, preste bastante atenção nas definições antes de começar a atacar um problema, e veja se elas possibilitam a solução… em todo caso, verifique se elas estão corretas 🙂

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Como referenciar este conteúdo em formato ABNT (baseado na norma NBR 6023/2018):

SILVA, Marcos Henrique de Paula Dias da. A pirâmide de hambúrgueres do Deus Netuno. In: UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS. Zero – Blog de Ciência da Unicamp. Volume 4. Ed. 1. 2º semestre de 2020. Campinas, 07 jul. 2020. Disponível em: https://www.blogs.unicamp.br/zero/2264/. Acesso em: <data-de-hoje>.