Domínio

Quantos experimentos precisamos realizar para termos certeza de algo?


No nosso dia-a-dia talvez dois ou três casos bem sucedidos já bastem para termos a impressão de certeza sobre um fenômeno. Por exemplo, provavelmente você acha que sabe fazer arroz.

Se te pedir para fazer 1 xícara de arroz, você colocará 2 xícaras de água.

Se te pedir para fazer 2 xícaras de arroz, você colocará 4 xícaras de água.

Se te pedir para fazer 3 xícaras de arroz, você colocará 6 xícaras de água.

Mas e se te pedir para fazer 200 xícaras de arroz, você colocará 400 de água?

Será que o fenômeno se mantêm nesta mesma proporção independente do volume de arroz?

Veja que nossa aparente certeza sobre um fenômeno pode nos levar a situação de falharmos no preparo de 200 xícaras de arroz. Isso nos forçaria a repensar o fenômeno de fazer arroz a partir de um modelo não-linear.


Nas Ciências, temos exatamente a mesma situação, a partir de algumas observações, determinam-se teorias que as explicam e as teorias seguem sendo reforçadas com mais observações. Mas quando começam a surgir observações que contrariam a teoria, é preciso repensar a própria teoria. Isso ocorreu por exemplo com a Física Newtoniana, que funcionava bem para distâncias “humanamente acessíveis”. Porém, começava a apresentar incongruências com distâncias muito pequenas e muito grandes. Isso levou ao surgimento de dois novos campos da Física, a Mecânica Quântica e a Teoria da Relatividade.

Essa característica empírica está relacionada à dificuldade em investigar por completo o domínio de um fenômeno.

No caso do arroz, poderíamos fazer testes separados cozinhando 1 grão de arroz, até 1 milhão de grãos de arroz e registrar se o modelo proposto suporta as observações. Mas ainda assim não saberíamos se esse modelo seguiria funcionando para 1 bilhão de grãos (por curiosidade, 1 bilhão de grãos de arroz pesaria quase 65 toneladas).

A ideia no caso, é aguardar que observações contrárias ao modelo surjam.


Contudo a dificuldade em investigar todo um domínio não é uma limitação para a Matemática.

Por exemplo, vou afirmar que qualquer número Natural é menor ou igual a 10100, pois existem 10100 casos em que isso é verdade.

Mas você pode achar facilmente casos em que essa afirmação falha, por exemplo 10100 + 1 é um número Natural maior que 10100.


Por isso, quando queremos ter certeza de algo na Matemática, não basta encontrarmos casos bem-sucedidos da propriedade investigada. É preciso garantir que para todo seu domínio ela seja verdade (mesmo nas Ciências, encontrar casos bem-sucedidos só basta quando utilizam a metodologia indutiva, caso contrário outras formas de investigar são essenciais).

Você pode entender o “domínio” de uma propriedade Matemática como o conjunto para o qual a consideramos.

Por exemplo, ao falarmos de números pares e ímpares, podemos subentender que estamos no domínio dos números Naturais ou Inteiros. Pois não faz muito sentido dizermos que números não-Inteiros sejam pares ou ímpares.

Outro exemplo que já foi discutido neste blog (Quem passa x dividindo sem especificar um domínio não-nulo), é o domínio das propriedades relacionadas à divisão. Nas propriedades que existem denominadores, o domínio do denominador nunca poderá ter o 0.


De forma geral, para demonstrarmos que uma propriedade é verdadeira, precisamos percorrer todo seu domínio, mesmo que isso seja infinito. Encontrar infinitos casos em que a propriedade vale não são o suficiente para que ela seja verdadeira.

Por exemplo, dizer que para “para x ∈ ℝ, então x ≠ x²” é verdade para todos os números Reais com exceção de 0 e 1. Mas como o domínio para qual esta propriedade foi enunciada (x ∈ ℝ) contêm os elementos 0 e 1, então a propriedade é falsa.

Pensando assim, quando mostramos “exemplos” de que uma propriedade é válida, estamos demonstrando para elementos específicos do domínio. Se o domínio for composto por poucos elementos, podemos organizar estes exemplos na forma de “casos”. Ai sim, se mostrarmos que a propriedade vale para todos os casos, teremos mostrado que ela é de fato verdadeira para todo o domínio (que nesse caso foi descrito como um conjunto de casos).

Por exemplo “para x ∈ ℝ tal que x = x², então x = x⁴” é uma propriedade cujo domínio envolve os números Reais tais que x = x², que já mencionamos é composto apenas por 0 e 1. Então podemos demonstrar esta propriedade por pelo menos duas maneiras distintas.

  • Demonstração direta:
    • Seja x⁴ = (x²)² = (x)² = x² = x.

  • Demonstração por casos:
    • Caso x = 0, temos (0)⁴ = 0
    • Caso x = 1, temos (1)⁴ = 1

Observe que demonstrar por casos é diferente de “dar exemplos”, e nesta situação só foi possível porque tínhamos poucos elementos no domínio. Enquanto a demonstração direta não dependeu da quantidade de elementos no domínio, “atacando” o domínio todo ao mesmo tempo.

Mas não abandone os exemplos! Embora apenas exemplos possam não bastar para garantir que uma propriedade vale em todo seu domínio, pensar em exemplos é uma boa estratégia inicial para entendermos como uma propriedade esquisita funciona. Isso nos ajuda a formar uma imagem mental desse objeto matemático com que estamos lidando e até mesmo nos dar ideias de por onde começar sua demonstração. Sem falar que apenas um contra-exemplo pertencente ao domínio daquela propriedade, já é o bastante para provarmos que ela não vale.


Como referenciar este conteúdo em formato ABNT (baseado na norma NBR 6023/2018):

SILVA, Marcos Henrique de Paula Dias da. Domínio. In: UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS. Zero – Blog de Ciência da Unicamp. Volume 7. Ed. 1. 1º semestre de 2022. Campinas, 29 jan. 2022. Disponível em: https://www.blogs.unicamp.br/zero/3661/. Acesso em: <data-de-hoje>.

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