Buracos Irracionais

Vamos fazer um truque de mágica… escolha sua operação básica da matemática favorita (multiplicação, adição, subtração, potência e divisão).

Agora pegarei um X e um Y deste baralho de infinitos Números Irracionais e realizarei a operação que você escolheu de X com Y.

Voalá! Eu estava mexendo no baralho de infinitos Números Irracionais, mas o resultado apareceu naquele outro baralho lá longe, o de infinitos Números Racionais. Surpreendente, não acha? Operar dois Números Irracionais e o resultado não ser um Número Irracional?

Este truque apenas funciona com o conjunto dos Números Irracionais porque ele não é fechado para nenhuma destas cinco operadores (multiplicação, adição, subtração, potência e divisão). Vamos falar um pouco sobre o conceito de um conjunto numérico não ser fechado para algum operador… comecemos por algo mais simples, como os Números Naturais.

O conjunto dos Números Naturais é fechado para os operadores adição, multiplicação ou potência. Isto significa que, escolhendo QUALQUER uma destas operações, para QUALQUER dois Números Naturais que decida operá-los, o resultado sempre cairá nos Números Naturais. Mas para as operações de subtração e divisão, este conjunto não é fechado… isto significa que embora existam Números Naturais cuja subtração de um pelo outro, ou a divisão de um pelo outro, caiam nos Números Naturais, EXISTEM Números Naturais que operados com a subtração ou com a divisão, caem fora dos Números Naturais. Como por exemplo:

3-5=-2 (pertence aos Números Inteiros)

3/5=0,6 (pertence aos Números Racionais)

Agora se pensarmos no conjunto dos Números Inteiros, ele é fechado para os operadores adição, multiplicação e subtração… ou seja, escolhendo QUALQUER uma destas operações, para QUALQUER dois Números Inteiros que decida operá-los, o resultado sempre cairá nos Números Inteiros. Mas para as operações de divisão e potencia, este conjunto não é fechado (isso mesmo, os Números Naturais eram fechados para o operador de potencia, mas os Números Inteiros não são)… isto significa que embora existam Números Inteiros cuja divisão de um pelo outro, ou a potencia de um pelo outro, caiam nos Números Inteiros, EXISTEM Números Inteiros que operados com a subtração ou com a divisão, caem fora dos Números Inteiros. Como por exemplo:

½ =0,5 (pertence aos Números Racionais)

2(-1)=0,5 (pertence aos Números Racionais)

Agora se pensarmos no conjunto dos Números Racionais, ele é fechado para os operadores adição, multiplicação, subtração e divisão… ou seja, escolhendo QUALQUER uma destas operações, para QUALQUER dois Números Racionais (exceto o 0 no Quociente da divisão, para a qual a divisão é indefinida) que decida operá-los, o resultado sempre cairá nos Números Racionais. Mas para as operações de potencia, este conjunto não é fechado… isto significa que embora existam Números Racionais cuja potencia de um pelo outro caiam nos Números Racionais, EXISTEM Números Racionais que operados com a potencia, caem fora dos Números Racionais. Como por exemplo:

2(1/2) = √2 (pertence aos Números Irracionais)

Agora se pensarmos no conjunto dos Números Irracionais, ele não é fechado para nenhum dos operadores adição, multiplicação, subtração, divisão ou potência… isto significa que embora existam Números Irracionais cujos resultados de um pelo outro nestas operações caiam nos Números Irracionais, EXISTEM Números Irracionais cujos resultados de um pelo outro nestas operações caem fora dos Números Irracionais. É neste ponto que permeia nosso truque apresentado no início do capítulo, para qualquer operador escolhido, tomamos um X e um Y dentro dos Números Irracionais que nesta operação, o resultado dê um Número Racional. Como por exemplo:

2 – √2 = 0

-√2 + √2 = 0

2.√2 = 2

2/√2 = 1

Para mostrar que os Números Irracionais não são fechados para a potência, precisamos de uma pequena demonstração:

Se √22 pertence aos Números Racionais, então ok, temos nosso resultado dentro dos Números Racionais. Senão, √22 deve ser um Número Irracional, neste caso (√22)2 = √22 = 2.


Como referenciar este conteúdo em formato ABNT (baseado na norma NBR 6023/2018):

SILVA, M. H. de P. D. da. Buracos Irracionais. In: UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS. Zero – Blog de Ciência da Unicamp. Volume 2. Ed. 1. 2º semestre de 2019. Campinas, 21 ago. 2019. Disponível em: https://www.blogs.unicamp.br/zero/443/. Acesso em: <data-de-hoje>.

4 thoughts on “Buracos Irracionais

  • 5 de janeiro de 2020 em 22:33
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    Excelente explicação. Ajudou muito! Obrigada!

    Resposta
    • 6 de janeiro de 2020 em 00:13
      Permalink

      Obrigado Verônica, fico feliz com o feedback 🙂

      Resposta
  • 18 de março de 2021 em 08:10
    Permalink

    Estou fechado com a matéria 🤝

    Resposta
    • 18 de março de 2021 em 11:46
      Permalink

      Q bom que gostou Tatá 🙂

      Resposta

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