Pedalando no globo

Em um planeta perfeitamente esférico com raio de 10 km, de superfície lisa (sem declives) e firme para caminhar, Eloá e Emanuelly tomavam um café da tarde numa padaria localizada sob o eixo horizontal do planeta.

Logo mais, as duas se despedem, pegam suas bicicletas e tomam direções diferentes, Emanuelly vai para o Norte enquanto Eloá para o Leste.

Após um tempo, Emanuelly percorreu 4 km, enquanto Eloá percorreu 3 km, pois no caminho se lembrou que havia levado um produto para entregar para sua amiga, mas acabou esquecendo e por isso parou para ligar pra ela.

Ficou combinado então de Emanuelly esperar ali enquanto Eloá viria ao seu encontro. Ali de pé, esperando Emanuelly começou a pensar, qual distância Eloá percorreria até encontrá-la.

Na escola Emanuelly aprendeu o Teorema de Pitágoras, e disse logo para si mesma que a resposta era óbvia:

(4 km)² + (3 km)² = distância²

16 km² + 9 km² = distância²

25 km² = distância²

5 km = distância

Porém, pensando melhor se deu conta de que sua resposta estava errada, não por erro de cálculo, mas porque não estavam realmente num plano, e sim, sobre uma esfera.

Aproveitando que Eloá ainda não chegou, Emanuelly pegou seu celular para fazer algumas contas.

Sabendo que o raio do planeta era 10 km, calculou o comprimento dessa circunferência como duas vezes π vezes o raio, isto é: 2.(π.10) = 20.π.

Assim, se ela tivesse percorrido 20.π km em uma mesma direção, teria feito um ângulo de 360 graus em relação ao centro do planeta, mas como percorreu apenas 4 km, então fez (4/20.π).360 graus, ou seja, 72/π graus (algo próximo de 23 graus). Eloá por sua vez, percorreu 3 km, então fez (3/20.π).360 graus,ou seja, 54/π graus (algo próximo de 17 graus). Como as duas estão na superfície do planeta, a distância delas até o centro segue a mesma, isto é, 10 km.

O passo seguinte foi determinar em uma linha realmente reta, qual a distância ela e Eloá percorreram em relação à padaria de onde se despediram. A ideia que Emanuelly teve para isso foi simples, ela imaginou dois triângulos isósceles, o primeiro com um vértice no centro do planeta, outro nela e na padaria.

Dividindo o ângulo de 72/π em dois, teríamos então dois triângulos retângulos (vou redesenhar a imagem chapada para facilitar).

Então, Emanuelly pensou que o seno de 36/π graus (isso mesmo, não é só porque apareceu um π, que passamos a trabalhar com radianos) é metade da distância dela até a padaria dividida por 10 km. Logo, duas vezes o seno de 36/π graus, vezes 10 km, deverá ser a distância dela até a padaria (em linha reta).

Distância percorrida pela Emanuelly: 20*sen(36/π) ~ (3,973 km)

Um raciocínio análogo foi feito para determinar a distância da Eloá até a padaria, mas agora dividindo em dois o ângulo de 54/π graus.

Distância percorrida pela Eloá: 20*sen(27/π) ~ (2,988 km)

Com essas duas distâncias, é possível determinar a distância (em linha reta) entre Emanuelly e Eloá (dessa vez sim, estaria correto usar o teorema de Pitágoras):

distância² = (20*sen(36/π))² + (20*sen(27/π))²

distância = SQRT((20*sen(36/π))² + (20*sen(27/π))²) ~ 4,971 km

Quase soltando um sorriso, depois de perceber a quantidade de contas em que se meteu, Emanuelly suspira, pois lembra que essa ainda não é a resposta… Precisa com essa distância, determinar qual o ângulo desse novo triângulo que criou.

Para isso Emanuelly pensou em inverter as contas, isto é, partindo de um triângulo isósceles com arestas conhecidas, dividir o ângulo desconhecido para formar dois triângulos retângulos.

E com isso, descobrir qual ângulo faz o seno de metade da distância entre elas, dividida por 10 km.

Ângulo: 2*arc-sen((SQRT((20*sen(36/π))² + (20*sen(27/π))²))/20) ~ 29 graus.

Meu deus… isso não acaba nunca, pensou Emanuelly. Agora com esse ângulo ela podia voltar para aquela informação lá do começo, sobre o tamanho da circunferência desse planeta, e determinar a partir de quantos graus Eloá estará fazendo, qual a distância ela percorrerá. Isto se faz primeiro convertendo os graus em radianos, e depois multiplicando pelo tamanho do raio (10 km).

Distância que a Eloá precisa percorrer: (2arc-sen((SQRT((20sen(36/π))² + (20*sen(27/π))²))/20))*10 ~ 5.024 km

Ufa, chegou na resposta, encontrou-se com Eloá, e depois voltou para casa, mas estava exausta (não por conta da pedalada)! E essa foi a última vez que Emanuelly decidiu calcular a distância percorrida num globo (teria sido menos cansativo ter pedalado ao encontro da Eloá).

---

Como referenciar este conteúdo em formato ABNT (baseado na norma NBR 6023/2018):

SILVA, Marcos Henrique de Paula Dias da. Pedalando no globo. In: UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS. Zero – Blog de Ciência da Unicamp. Volume 11. Ed. 1. 1º semestre de 2024. Campinas, 14 abril 2024. Disponível em: https://www.blogs.unicamp.br/zero/5639/. Acesso em: <data-de-hoje>.