Um pêndulo “motivacional”
Era o primeiro dia de aula na disciplina Matemática VI para os alunos do Ensino Médio Técnico de um Instituto Federal de Ensino. A ementa dessa disciplina propunha o trabalho com o temível conjunto dos números Complexos. A professora Emanuelly considerava importante começar a aula apresentando um sentido real aos elementos deste conjunto e escolheu fazer isto com um pêndulo feito com seu cordão que segura as chaves.
Sua ideia era mostrar como as equações que descrevem o movimento de um objeto simples como aquele pêndulo, dependeriam de números Complexos. Para isso, ela começou desenhando um modelo Físico que representava o movimento de um pêndulo simples.
Então, Emanuelly explicou que chamaria de ay a aceleração em y (vertical) e de ax aceleração em x, e com isso poderiam escrever as seguintes equações de movimento vertical e horizontal.
1) T.cos(θ) – m.g = m.ay
2) – T.sen(θ) = m.ax
Logo, como a força exercida pela gravidade é igual a força que a corda exerce em segurar o pêndulo (já que a corda não rompe), assim podemos reescrever a equação 1.
1) T.cos(θ) – m.g = 0
2) – T.sen(θ) = m.ax
Agora, usando um pouco de conhecimentos das funções trigonométricas, sabemos que quando θ for próximo de 0, o cosseno(θ) será próximo de 1, assim a equação 1 pode ser reeescrita como:
1) T = m.g
2) – T.sen(θ) = m.ax
No passo seguinte, Emanuelly coloca seu chapéuzinho de bruxa (sentido figurado) pois faria alguns passos um tanto misteriosos para sua turma.
Ela denomina a aceleração em x é por ax.
E afirma que a aceleração pode ser escrita como a taxa de variação instantânea (derivada) da velocidade em x, e a velocidade em x como a taxa de variação instantânea (derivada) do movimento em x.
Assim, para “simplificar” as notações, ela passaria a denotar a aceleração em x como a 2a derivada do movimento de x, que chamaria carinhosamente de x’’.
Nessa ocasião, a reação da turma já era um tanto preocupante…
Emanuelly percebe que a turma estava bastante aflita com aquela explicação que cruzava tantos conceitos, e precisa decidir se aborta aquela contextualização ou insiste e vai até final. Ela respira e decide seguir (seja o que Deus quiser…).
Então ela pede que a turma observe o triângulo retângulo formado no desenho:
Em seguida, pede pra turma se segurar pois fariam “juntos” algumas manipulações algébricas um tanto quanto “astuciosas”.
Primeiro, é possível escrever sen(θ) = x/L, e ao substituírmos sen(θ) por x/L na equação, chegamos em:
1) T = m.g
2) -T.x/L = m.x’’.
Também substituindo T por m.g na equação 2) temos:
1) T = m.g
2) -m.g.x/L = m.x’’.
Além disso, se passassemos -m.g.x/L para o lado direito da equação, ficamos com:
1) T = m.g
2) 0 = mx’’ + m.g.x/L.
E por fim, como m representa uma massa maior que 0, não há mal algum em dividir ambos os lados por m:
1) T = m.g
2) 0 = x’’ + g.x/L
Nessa ocasião, Emanuelly juntou as mãos e pediu desculpas sinceras para sua turma, pois precisariam que eles acreditassem nela em sua próxima afirmação. Isto é, ela queria dizer que não seria possível justificar o próximo resultado com cálculos que eles pudessem acompanhar (ela é bastante otimista, então estava supondo que a turma a estava acompanhando até aquele momento).
A turma acena concordando, e ela agradece e continua, dizendo a afirmação mais chocante de todas (pra ela, é claro):
Uma solução para a equação 0 = x’’ + g.x/L é da forma x(t) = eλt onde t é o tempo!
Então ela explica que “aceitando” esta solução, podemos substituí-la na equação e obter:
0 = (λ² + 1).eλt.
Mas como eλt é diferente de 0, não há mal em dividir ambos os lados por eλt, e com isso obtemos (finalmente):
0 = λ² + 1
-1 = λ²
√(-1) = λ
Logo, a equação que representa o movimento do pêndulo simples, não possuí solução Real.
Nessa ocasião, a reação da turma já era bem mais difícil de se descrever…
E com isso, ela encerrou a aula agradecendo imensamente a atenção da turma, que parecia ainda mais aterrorizada do que antes, com os números Complexos…
Como referenciar este conteúdo em formato ABNT (baseado na norma NBR 6023/2018):
SILVA, Marcos Henrique de Paula Dias da. Um pêndulo “motivacional”. In: UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS. Zero – Blog de Ciência da Unicamp. Volume 11. Ed. 1. 1º semestre de 2024. Campinas, 28 abril 2024. Disponível em: https://www.blogs.unicamp.br/zero/5671/. Acesso em: <data-de-hoje>.