Ruffini: quiere ser hardcore y Manu no lo deja
O método de Briot-Ruffini é uma estratégia utilizada para dividir um polinômio por outro, mas não entrarei em detalhes sobre como utilizá-lo, pois há uma infinidade de sites, livros e vídeos por ai explicando o passo-a-passo de seu uso. Mas o assunto desse texto é outro, e que talvez sirva para você. O fato é que eu definitivamente nunca consigo me lembrar de como faz esse bendito método de Briot-Ruffini. Posso até levar uma cola, ver como é, mas depois de 15 minutos eu já não me lembrarei mais de como fazer…
Contudo cedo ou tarde (principalmente quando você precisa ensinar Limites para os alunos da graduação), precisaremos dividir alguns polinômios. Isto aconteceu por exemplo no semestre passado, quando passei uma bateria de exercícios de calcular Limites de funções com uma variável Real, e era preciso reescrever a função como outra mais conveniente.
Por exemplo: Lim x→ 2 (x³ – 8)/(x – 2)
Utilizando o método de Briot-Ruffini o caminho seria:
Reescrever o polinômio x³ – 8 como 1.x³ + 0.x² + 0.x – 8.
Desenhar uma tabela, e escrever na primeira linha a partir da segunda coluna, cada um dos coeficientes do polinômio x³ – 8 (um coeficiente do maior grau para o menor em cada célula).
Na primeira coluna da segunda linha, colocar o valor do termo constante associado ao polinômio que utilizaremos na divisão com seu sinal oposto (neste caso o -2 seria colocado como 2).
Então o primeiro coeficiente (1a linha 2a coluna) desce imediatamente para a 3a linha e 2a coluna.
Depois multiplicamos o valor descido (3a linha e 2a coluna) pelo valor do coeficiente constante (2), e escrevemos o resultado na 2a linha e 3a coluna. Por fim, fazemos a soma do valor da 1a linha e 3a coluna, com o valor da 2a linha e 3a coluna, o resultado escrevemos na 3a linha e 3a coluna.
Então repetimos este procedimento com o valor resultante, para a 4a coluna, depois para a 5a coluna. Como ilustrado abaixo.
| 1 | 0 | 0 | −8 |
|---|
| 2 | 2 | 4 | 8 |
| 1 | 2 | 4 | 0 |
A interpretação deste resultado é a terceira linha, onde da esquerda para a direita temos os coeficientes do maior para o menor grau do polinômio resultante desta divisão, exceto pela última coluna da terceira linha, que corresponde ao resto da divisão (que por ser 0, não nos dará problema neste caso). De forma resumida:
(x³ – 8)/(x – 2) = x² + 2.x + 4.
Agora voltando para o nosso limite:
Por exemplo: Lim x→ 2 (x³ – 8)/(x – 2) = Lim x→ 2 (x² + 2.x + 4) = 2² + 2*2 + 4 = 12.
Mas de boa… eu imagino que se você memorizar esse passo-a-passo, ele deve ser bem tranquilo de ser feito, mas eu em particular sempre me confundo, nunca lembro o que vem depois do que, ou se é pra somar, subtrair, ou se o sinal é invertido ou não… Enfim, é para falar como ataco o problema nestas situações que escrevo este post. Embora o método de Briot-Ruffini seja todo poderoso, eu prefiro algo mais basicão (dai a referência ao título deste post e ao famoso meme “Jorge: quiere ser hardcore y su mamá no lo deja”).
Comecemos reescrevendo reescrevendo nosso polinômio como o produto do polinômio que queremos dividir, por um polinômio do grau adequado ao produto mas com coeficientes genéricos.
(x³ – 8) = (a.x² + b.x + c).(x – 2)
Agora vamos fazer a multiplicação deste polinômio genérico pelo polinômio usado como quociente.
(a.x² + b.x + c).(x – 2) = … = a.x³ +(−2.a + b).x² + (−2.b + c).x − 2.c
Então vamos reescrever o polinômio x³ – 8 como 1.x³ + 0.x² + 0.x – 8 e igualar cada um dos coeficientes pelos coeficientes do produto obtido:
1 = a
0 = -2.a + b
0 = -2.b + c
-8 = -2.c
Resolvendo estas equações temos que a = 1, b = 2, c = 4.
Agora substituindo estes valores nos coeficientes genéricos do nosso polinômio, temos que ele será 1.x² + 2.x + 4.
Olhando agora, realmente o método de Briot-Ruffini é bem mais prático e rápido do que este… mas tudo bem, encerro com um ditado popular:
Porque fazer do jeito fácil se do jeito difícil também funciona?
Brincadeiras a parte, eu realmente tenho dificuldade em lembrar métodos e regras (frequentemente confundo seus passos ou ordem), então do jeito que fiz para mim é mais fácil e intuitivo, já que eu consigo enxergar como as coisas seguem a partir de um polinômio genérico :3
Como referenciar este conteúdo em formato ABNT (baseado na norma NBR 6023/2018):
SILVA, Marcos Henrique de Paula Dias da. Ruffini: quiere ser hardcore y Manu no lo deja. In: UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS. Zero – Blog de Ciência da Unicamp. Volume 12. Ed. 1. 2º semestre de 2024. Campinas, 29 de dezembro 2024. Disponível em: https://www.blogs.unicamp.br/zero/5945/. Acesso em: <data-de-hoje>.