Jovem ainda, jovem ainda…

Naquela edição do Gathering for Gardner, Singmaster não apresentou nenhuma resposta oficial para o problema da idade de sua filha, mas eu encontrei uma solução que me parece possível (o Takata foi mais preciso que eu nos comentários, mas a conclusão foi a mesma).

A dica está na declaração final de Jessica — “Não seja tão positivo.” Se considerarmos as soluções negativas, Jessica poderia ter metade da idade de Helen mesmo sendo mais velha. Assim, Jessica teria –8 anos quando Helen tivesse –16.

Para ficar mais claro, o Takata se seu ao trabalho de (como dizia um professor de Química que tive no colégio) fazer as continhas:

Sendo J(ta) a idade atual (sendo ta o ano corrente) de Jéssica: J(ta) = 16; e H(ta) a de Helen: H(ta) = 8. A diferença D(ta) é de J(ta) – H(ta) = 16 – 8 = 8 anos.

No tempo t (em anos), Jéssica tem idade J(t) = J(ta) + (t-ta); e Helen: H(t) = H(ta) + (t-ta). A diferença D(t) = J(t) – H(t) = J(ta) + (t-ta) – [H(ta) + (t-ta)] = J(ta) – H(ta) = D(ta). Isto é, a diferença D(t) é fixa = 8.

Já a razão R(t) das idades é igual da:
R(t) = J(t)/H(t) = [J(ta) + (t-ta)]/[H(ta) + (t-ta)] = [H(a) + D(t) + (t-ta)]/[H(a) + (t-ta)] = H(a)/[H(a) + (t-ta)] + D(t)/[H(a) + (t-ta)] + (t-ta)/[H(a) + (t-ta)]

Quando t -> oo:
limR(t)[t->oo] = 0 + 0 + 1 = 1

O tempo t em que R(t) = 1/2 seria:
R(t) = [16 + (t-ta)]/[8 + (t-ta)] = 1/2

8 + (t-ta) = 2[16 + (t-ta)]
8 + (t-ta) = 32 + 2(t-ta)
t-ta = -24
t = ta-24

J(ta-24) = J(ta) + (t-ta) = 16 + (ta-24+ta) = 16 -24 = -8 anos
H(ta-24) = H(ta) + (t-ta) = 8 -24 = -16 anos

Vish!