Na minha última aula de Química Geral (já contei que estou cursando Licenciatura em Química?), vimos sobre ângulos de ligação entre átomos e os nomes que essas geometrias recebiam.

No caso das geometrias planas (linear e trigonal planar), era fácil entender porque os ângulos de 180° e 120° apareciam (dividir um círculo de 360° em 2 ou 3 partes).

Na geometria bipiramidal trigonal o raciocínio segue parecido, basta enxergar um trigonal planar combinado com um linear, justificando os 120° e 180°.

Na geometria octaédrica “vemos” um monte de ângulos retos, então é fácil entender porque os ângulos de 90°.

Contudo, você percebeu que pulamos a geometria tetraédrica?

É dito que para ela o ângulo de ligação é de 109°… mas porque?

Você pode até justificar dizendo que é o ângulo que faz o maior afastamento entre os átomos… mas porque 109° e não 112° ou 106°?

Na minha última aula de Pré-Cálculo para professores de Química (agora digo minha aula, pois era eu que estava ministrando), fazia a revisão dos conteúdos das aulas anteriores, e após tratar logaritmos, quis revisar de uma forma mais prática funções trigonométricas. Então passei esta geometria molecular e propús algo divertido para a turma.

Se alguém ali, nos próximos 40 minutos, conseguisse mostrar porque aquele ângulo é de 109°, a turma inteira (que assinou a presença naquele dia), ganharia mais 0,5 na média. Detalhe: valia tudo o que estivesse ao alcance da turma, desde pesquisar na internet, no chat-gpt, procurar professores ou veteranos pra responder, mas eles deveriam ser capazes de “explicar” porque são 109°.

(Isso significa que poderiam ser utilizados recursos quaisquer da matemática, desde que quem fosse explicar, conseguisse entender o que está sendo feito. Sendo capaz de justificar todos os procedimentos adotados)

(Essa proposta colaborativa foi bastante motivadora e penso usá-la novamente na próxima aula de revisão, pois mesmo quem não precisava daquele 0,5 na média, tinha a intenção de querer ajudar o restante da turma)

Quase estourando o tempo, conseguiram encontrar a explicação e processá-la de um modo que justificasse o motivo 🙂

Ficou curioso para saber como encontrar esse ângulo?

Então mostrarei agora a resolução que esperava dos meus alunos (e que fiz para eles após a explicação de sua colega).

Comece imaginando um tetraedro regular:

Então vamos pegar uma de suas faces (por exemplo a base) e calcular o seu apótema (que seria a altura de uma aresta que divide o polígono em triângulos isósceles congruentes).

Como estamos procurando o ângulo, não faz mal escolhermos uma medida para os lados do triângulo, neste caso vou assumir que o triângulo tem lado 2. Agora sabendo que o ângulo interno do triângulo equilátero é de 60°, e que os triângulos internos são isósceles, então seu menor ângulo será de 30°. Logo o apótema A poderá ser descrito como:

tang(30°) = A/1 = A

Então vou calcular a altura de uma das faces do tetraedro:

Sabendo que seu ângulo interno é 60°, então sua altura H será:

tang(60°) = H/1 = H

Por fim, vou procurar descobrir o valor da altura X do tetraedro, utilizando o teorema de pitágoras nesse triângulo imaginário que criei, onde A é um dos catetos e H é a hipotenusa:

Temos que:

Tang(30°)² + X² = Tang(60°)²

Substituindo os valores da tangente de 30° e 60°, fica:

(√3/3)² + X² + √3²

X² = 3 – 3/9

X² = 24/9

X = √(24/9) = 2√6/3

Assim, sabendo que a altura do tetraedro é 3/2 e sua aresta vale 2, podemos expressar o valor do ângulo θ, como:

cos(θ) = (2√6/3)/2 = √6/3

θ = arccos(√6/3) ~ 35.26°

Retomando ao nosso problema, estamos procurando o ângulo de ligação α que vai do centro do tetraedro até seus vértices. Assim, essas ligações formarão triângulos isósceles, logo dois dos seus ângulos serão iguais. Mas já descobrimos que θ = arccos(√6/3), com isso basta fazer a diferença da soma dos ângulos internos de um triângulo para encontrar α.

α = 180° – arccos(√6/3) – arccos(√6/3) ~ 109.47°

Ufa! Acho que isso explica porque geralmente não vemos essa explicação 🙂