Se funciona, qual o problema usar?

Na graduação em Matemática vemos muitas demonstrações de propriedades (sejam elas chamadas de vários nomes como já discutido no post ‘Você é fraco Lema, te falta importância!‘). Parte da justificativa por trás dessa exigência se vê na necessidade do matemático compreender um resultado como por exemplo que o número 73 é o único com as características que o fazem um ‘Primo de Sheldon‘. Outro ponto a favor do estudo das demonstrações, é o próprio domínio do matemático sobre aquilo que fundamenta determinados resultados, ou mesmo, a forma como isso lhe permite rascunhar argumentos que validem ou refutem novas proposições. Novas ‘descobertas’ na Matemática são divulgados a partir de artigos científicos da área, e uma vez que a demonstração se torna pública, podemos usá-la a nosso bel prazer sem preocupações.

Enquanto ter ciência da veracidade de uma propriedade matemática é um processo árduo, vemos muitas ‘dicas’ ou até mesmo ‘segredos que seu professor de matemática não quer que você saiba’, envolvendo jeitos mais simples de realizar alguns cálculos. Eles envolvem regras, técnicas e procedimentos ‘aparentemente’ mais claros do que o conceito original por trás, como por exemplo a ideia de ‘passar para o outro lado com o sinal oposto’, ou ‘passa pro outro lado cruzando’. De fato, são regras que agilizam o processo de fazer contas, porém quando saltam a etapa de entender o conceito que lhe permite agir dessa maneira, considero tais técnicas evitáveis e até mesmo perigosas de serem usadas de forma leviana.

Mas então surge o questionamento, se a regra funciona, porque não usar?

A imagem de capa é um meme de minha autoria adaptado de “https://www.reddit.com/r/MemeTemplatesOfficial/comments/cl7ydo/the_silent_protector_meme_soldier_failing_to/” e de uma dessas ‘dicas’ de como simplificar frações de um jeito mais fácil. Nesse meme vemos o soldado representando os “Artigos científicos que demonstram propriedades da matemática” e do outro lado uma criança dormindo, prestes a ser atingida por vários projéteis e armas que lhe gerarão imenso dano (a “regrinha” de simplificar frações com números Naturais de dois dígitos no numerador e no denominador).

Parece uma “piada”, mas de fato essa é uma regra que funciona para esses 3 casos:

19/95 – você corta os 9’s e fica com 1/5;
26/65 – você corta os 6’s e fica com 2/5;
49/98 – você corta os 9’s e fica com 4/8.

Podemos explorar melhor essa regra escrevendo sua expressão geral da seguinte forma. Temos 3 algarismos, X será a dezena do numerador, Y será a unidade do numerador (que será igual a dezena do denominador) e Z será a unidade do denominador. Assim, essa regra diz que:

(10*X + Y)/(10*Y + Z) = X/Z, para X, Y, Z Naturais variando entre 1 e 9.

Temos de forma direta 9 soluções para esse problema, bastando tomar X = Y = Z, que chegaremos em soluções do tipo:

11/11, 22/22, 33/33, 44/44, 55/55, 66/66, 77/77, 88/88 e 99/99.

Fixando Y = 6, obtemos (10*X + 6)/(60 + Z) = X/Z, do qual teremos solução quando X = 1, Z = 4, ou quando X = 2, Z = 5.

Fixando Y = 9, obtemos (10*X + 9)/(90 + Z) = X/Z, do qual teremos solução quando X = 1, Z = 5, ou quando X = 4, Z = 8.

Assim, entre 11 e 99, o conjunto de soluções dos casos em que essa regra funciona são:

11/11 = 1/1
22/22 = 2/2
33/33 = 3/3
44/44 = 4/4
55/55 = 5/5
66/66 = 6/6
77/77 = 7/7
88/88 =8/8
99/99 =9/9
16/64 =1/4
26/65 = 2/5
19/95 = 1/5
49/98 = 4/8

Brincando um pouco com permutações, temos 81 opções para o numerador variar entre 11 e 99 (pois ignoramos os números com 0), e temos 81 opções para o denominador variar entre 11 e 99 (pelo mesmo motivo). Com isso, chegamos que existem 81² (6.561) números dessa forma, e destes, apenas os 13 casos acima funcionam. Ou seja, se sortearmos um número dessa forma (dois dígitos em cima e dois dígitos em baixo) e eu utilizar essa regra, tenho quase 0,2% de chance dessa regra funcionar para essa situação, e outros 99,8% de chance dela não valer. Pois desses 6.561 casos, em 6.548 deles essa regra não vale.

Esse foi um exemplo um tanto exagerado, mas que serve para mostrar como apesar de uma regra de aparente simplicidade, traz uma série de exceções mais caras do que o uso dos procedimentos padrões de divisão por frações. Por exemplo, quando falamos que em equações podemos ‘passar um número pro outro lado mudando o sinal’, podemos cair no seguinte equívoco:

Mas diante essa situação, podemos pensar em adicionar uma ‘regra’ sobre a equação ter apenas um sinal de igual … mas o problema das regras é exatamente isso, a medida que buscamos corrigí-las, acabamos tornando-as mais complexas do que seria sua intenção inicial de simplificar o domínio do conceito. Na verdade, em equações, não passamos nada de um lado para o outro, o que ocorre é somar, subtrair, multiplicar ou dividir (por um número diferente de 0) o mesmo valor em todas as igualdades, dado que isso não afeta a igualdade. Embora possa nos levar a uma situação de inutilidade, como no exemplo abaixo.

Não há absolutamente nada de errado em multiplicar por 0 todas as partes da igualdade, embora isso não te aproxime em nada de descobrir qual deve ser o valor de x. Nesse sentido, entender o conceito te garante que essa operação esta correta, o que poderia ser contraintuitivo no uso de ‘regras’, pois se elas servem para facilitar as contas, deveria ter uma regra dizendo para ‘não multiplicar por 0’, porém isso é permitido, embora seja uma ação inútil na busca pelo valor da incógnita.

Em outras tantas situações a ideia de passar a técnica na frente do conceito pode levar a equívocos e exceções, como no caso do Cálculo Diferencial, quando o estudante aplica a regra de L’hospital sem antes verificar se as funções a serem derivadas eram realmente indeterminadas.

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