Você não precisa de dados, quando tem moedas!

Já fazem mais de três anos desde que escrevi o post Perdi meu dados, ainda dá pra jogar? explicando como usar moedas, cronometro ou um código simples no Excel para modelar o funcionamento de dados.

Recentemente fui intimada a narrar uma aventura de RPG num grupinho da igreja e entre as questões envolvidas estava a necessidade de dados…

Na minha cabeça isso nem era um problema, afinal, posso usar um aplicativo qualquer que simule o lançamento de dados, ou se quiser ser mais hardcore, uso um cronometro, ou ainda, abro um excel e executo um código de randbetween(1, X)… mas lendo as conversas do grupinho criado pra esse fim, vi que os jogadores falavam em lançar dados, que queriam sentir essa emoção e tals… dai fiquei sem coragem de usar uma solução tão “fria” quanto essas.

Também não tinha intenção de comprar um conjuntinho de dados só pra isso…

E ai? O que posso fazer?

Bom, tenho moedas… guardo elas para usar em aulas, porque são ferramentas muito úteis, inclusive mês passado usei-as para trabalhar funções logaritmicas com meus alunos do Ensino Médio, segue o link do post falando sobre o experimento que fiz: Experimento de meia-vida usando d̶a̶d̶o̶s̶ moedas.

Então vamos lá… como podemos usar moedas para modelar probabilidades?

Se eu lançar uma moeda, tem 50% de chance de cair Cara, e 50% de chance de cair Coroa (estou repetindo o óbvio, mas só pra não perder o fio da meada).

Agora qual a chance de lançar duas moedas, e obter duas Caras?

Isto é a chance de obter uma Cara, dado que a outra moeda também caiu em Cara 0.5*0.5 = 25%.

Agora qual a chance de lançar duas moedas, e obter pelo menos uma Cara?

Isso será a chance de obter uma Cara mais a chance de obter duas Caras, isto é, 50% + 25% = 75%.

(Será que você está no Blog certo? Nunca escrevi nada tão bobinho assim no Zero antes… )

Agora qual a chance de lançar três moedas, e obter pelo menos duas Caras?

Isso será a chance de obter uma Cara mais a chance de obter duas Caras, isto é 37,5% + 12,5% = 50%.

(Você pode estar pensando, de onde veio essas probabilidades… enfim, você está no Blog certo)

De forma geral, para calcular a probabilidade de lançar N moedas e obter X Caras, fazemos o seguinte:

(0,5)^N * N!/[(N – X)!*X!]

Vamos explicar o passo a passo dessa expressão assustadora…

(0,5)^N é a chance de lançarmos N moedas e obtermos uma combinação específica de Caras e Coroas.

N! é o total de combinações que podem ser formadas lançando N moedas (considerando a ordem do lançamento).

(N – X)!*X! representa o total destas combinações que aparecem repetidas vezes.

Assim, quando fazemos

N!/[(N – X)!*X!] temos exatamente a quantidade de vezes que esta combinação se repete.

Então (0,5)^N é a chance de uma combinação (considerando a ordem de lançamentos) ocorrer vezes a quantidade de vezes que esta combinação se repete N!/[(N – X)!*X!].

Obter todas as moedas iguais à Cara, seria só (0,5)^N, pois nesse caso N = X, logo, N!/(0!*N!) = 1 (lembrando que 0! é 1).

Este tipo de operação é chamado “escolhe”, neste caso seria “N escolhe X”, e já usei isto em outros posts, como por exemplo Exódia vs Dragões Brancos de Olhos Azuis (não foi um raciocínio fácil de chegar… sinceramente eu pensei que seria algo mais bobinho de calcular, mas depois de uma hora pensando, fui dormir com isso na cabeça e consegui resolver antes de pegar no sono XD).

Então acabou? É isso?

Ainda não, eu fiz a conta apenas de qual a probabilidade de cair exatamente X moedas em Cara, dado que lancei N moedas.

Para calcular a probabilidade de cair pelo menos X moedas em Cara, preciso somar esta probabilidade com as probabilidades de cair mais que X moedas em Cara.

Bora pro Excel 🙂

Primeiro eu calculei a chance de cair exatamente cada uma das X caras para N moedas:

(fiz do 1 ao 10 para aquecer, depois alguns casos até o 170, porque o Excel se recusou a calcular um fatorial superior a 170 … software preguiçoso 😛 )

Se quiser tentar, esta é a fórmula que usei para a célula B2: =(FACT(B$1)/(FACT(B$1-$A2)FACT($A2)))0,5^B$1

O passo seguinte, é somar para cada quantidade mínima de Caras, as probabilidades dos resultados com X ou mais Caras:

Pronto, temos agora a probabilidade de ao lançarmos N moedas, obtermos pelo menos X caras.

Agora respondendo ao título do post, você não precisa de dados para jogar RPG, quando tem moedas!

Pense assim, queria lançar um D20. Basta pegar 170 moedas e lançá-las, as probabilidades serão próximas de um D20 ideal (lembrando que a probabilidade de um dado real feito de plástico ou mental também deve estar sujeita a alguns erros).

1. Mais de 97 Caras (0 a 3,9%)
2. 95 e 96 Caras (5,3 a 7,2%)
3. 93 e 94 Caras (9,6 a 12,5%)
4. 92 Caras (15,9%)
5. 91 Caras (19,9%)
6. 90 Caras (24,5%)
7. 89 Caras (29,6%)
8. 88 Caras (35,1%)
9. 87 Caras (40,9%)
10. 86 Caras (46,9%)
11. 85 Caras (53,1%)
12. 84 Caras (59,1%)
13. 83 Caras (64,9%)
14. 82 Caras (70,4%)
15. 81 Caras (75,5%)
16. 80 Caras (80,1%)
17. 79 Caras (84,1%)
18. 78 e 77 Caras (87,5 a 90,4%)
19. 76 e 75 Caras (92,8 a 94,7%)
20. Menos de 74 Caras (96,1 a 100%)

Estas probabilidades podem ser representadas no seguinte gráfico:

Agora pense na emoção de lançarmos 170 moedas de 1 real (cada uma pesa 7g), então são quase 1,2 kg de moedas saltando e depois temos a contagem dos resultados! Quer coisa mais emocionante?

Brincadeiras a parte (embora neste blog isso seja uma grande parte), no RPG que narrei, utilizei apenas 10 moedas, o seu gráfico de probabilidades é bem menos preciso do que utilizando 170 moedas, mas foi o suficiente para que a partida tivesse sua emoção.

Créditos da imagem de capa à Mitaukano por Pixabay

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Como referenciar este conteúdo em formato ABNT (baseado na norma NBR 6023/2018):

SILVA, Marcos Henrique de Paula Dias da. Você não precisa de dados, quando tem moedas!. In: UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS. Zero – Blog de Ciência da Unicamp. Volume 10. Ed. 1. 2º semestre de 2023. Campinas, 17 jul. 2023. Disponível em: https://www.blogs.unicamp.br/zero/5112. Acesso em: <data-de-hoje>.