Caixas reais, métodos complexos

No semestre passado, Emanuelly teve a “brilhante ideia” de utilizar no Instituto Federal de ensino em que leciona, o movimento de um pêndulo simples como motivação para que seus alunos da disciplina Matemática VI compreendessem que os Números Complexos estão de fato inseridos no mundo real (Um pêndulo “motivacional”). Refletindo a experiência e estudando mais sobre este conjunto numérico, ela tomou conhecimento de uma equação específica que viria muito bem a calhar para convencer seus alunos de que esses números de fato existam.

Entusiasmada com o início do novo semestre, na primeira aula da disciplina Matemática VI, após se apresentar para a turma e explicar seu planejamento pedagógico, Emanuelly apagou toda a lousa e deu início a sua tentativa de motivar os alunos a respeito dos números Complexos.

Para isso, ela colocou sobre a mesa várias folhas de cartolina, réguas, tesouras e fitas adesivas, e sua ideia era desafiar os alunos a criarem duas caixas com a mesma largura, mas a primeira deveria ter formato de cubo, enquanto a segunda deveria ter altura 5 cm, comprimento 3 cm e ser 4 cm³ menor que a primeira.

Esse foi um desafio bastante fácil de ser resolvido, os alunos após testarem alguns valores inteiros, descobriram que se a primeira caixa tiver largura 4, seu volume será 64 cm³, enquanto o da segunda caixa seria 60 cm³. Realmente, Emanuelly sabia que este problema seria resolvido com alguma facilidade, simplesmente chutando, afinal, se uma caixa tem medidas 3 e 5, é razoável verificar se 4 seria uma solução.

A turma estava animada, terminando suas caixas, quando ela foi até a lousa explicar esse desafio.

Se a largura é a mesma, vamos chamá-la de x.

O volume da caixa rosa (a primeira) será x³.

O volume da caixa azul (a segunda) será 3*5*x.

O volume da caixa rosa é igual ao volume da caixa azul mais 4 cm³, ou seja, x³ = 15*x + 4.

Que podemos reescrever como x³ – 15*x – 4 = 0.

Assim, aquilo que a turma fez com a caixa, foi descobrir quando x³ – 15*x – 4 é igual à 0.

Agora que o problema das caixas já tinha sido empiricamente resolvido, a professora mostraria sua resolução algébrica.

Vamos dizer que u + v seja uma solução. Se isso é verdade, então ao substituirmos x por u + v teremos:

(u + v)³ – 15*(u + v) – 4 = 0

u³ + 3*u²*v + 3*u*v² + v³ – 15*u – 15*v – 4 = 0

(u + v)*(3*u*v – 15) + (u³ + v³ – 4) = 0

Assim, uma solução seria:

  • 3*u*v – 15 = 0
    u³ + v³ – 4 = 0

Isolando as constantes em cada equação, temos:

  • u*v = 5
    u³ + v³ = 4

Elevando a primeira equação ao cubo, temos:

  • u³*v³ = 125
    u³ + v³ = 4

    Nessa ocasião a professora interrompe os cálculos para explicar, porque decidiu elevar a primeira equação ao cubo. Ela diz que a intenção era ter os mesmos “números” somando e multiplicando em ambas as equações. Isto é, ela queria trabalhar com u³ como um número, e v³ como outro número. Com estas condições, era possível resolver essas duas equações como se fosse uma equação de 2o grau.

    • u³ = 4 – v³
      (4 – v³)*v³ = 125
      4*v³ – v⁶ – 125 = 0
      v⁶ – 4*v³ + 125 = 0
      (v³)² – 4*(v³) – 125 = 0

    Voalá, temos nossa equaçãozinha de 2o grau. Agora podemos dizer que suas soluções (valores de v³) serão:

    • v³ = [ 4 ± √(16 – 4*125) ]/2
      v³ = [ 4 ± √(-484) ]/2
      v³ = [ 4 ± 22*√(-1) ]/2
      v³ = 2 ± 11*√(-1)

    Opa… apareceu o famigerado √(-1), mas vamos ignorá-lo por um momento e voltar para a nossa segunda equação u³ + v³ = 4, assumindo (sem perda de generalidade que v³ = 2 + 11*√(-1).

    • u³ + 2 + 11*√(-1) = 4
      u³ = 2 – 11*√(-1)

    Mas e o √(-1)?

    Vamos continuar ignorando ele, só mais um pouquinho…

    • v³ = 2 + 11*√(-1) ⇒ v = 3√( 2 + 11*√(-1) ) = 3√( 2 + √(-1) )³ = 2 + √(-1)
      u³ = 2 – 11*√(-1) ⇒ u = 3√( 2 – 11*√(-1) ) = 3√( 2 – √(-1) )³ = 2 – √(-1)

        Maravilha, agora temos o valor de u e v… mas o √(-1) continua ai.

        Mas lembrem-se que lá no começo, quando estávamos tentando resolver x³ – 15*x – 4 = 0, “decidimos” chamar x de u + v. Agora que sabemos quanto vale u e v, porque não fazer sua soma?

        • u + v = 2 + √(-1) + 2 – √(-1) = 4

        Ahá! Emanuelly aponta feliz para a turma enquanto mostra o resultado, que “magicamente” anulou através da subtração os √(-1). Mas a sala permanecia um tanto sem reação, suas cabeças pareciam pegar fogo tentando acompanhá-la no raciocínio. Então ela esperou um pouco e revisitou os passos apresentados, e aos poucos a fumaça que saia das cabeças de seus alunos ia diminuindo, e começavam a ficar levemente (bem levemente) surpresos com o fato de √(-1) ter desaparecido sozinho.

        Com isso, a professora mostrou como achar uma solução para aquela equação cúbica. E explica que para achar as outras duas soluções, poderia simplesmente dividir a equação cúbica pela solução conhecida, isto é (x – 4), e com isso, encontrariam a equação de 2o grau x² – 4*x + 1, e resolvendo-a (agora pela fórmula padrão), chegaríamos nas soluções 2 + √(3) e 2 – √(3).

        A professora então volta para a turma, frente a lousa, para explicar o que havia de tão “surpreendente” naquela lousa. Que apesar de termos encontrado o famigerado √(-1) nos nossos cálculos, “aceitar sua existência” foi necessário para concluírmos as contas e encontrarmos as soluções, todas Reais.

        Ainda notando uma certa falta de reação da turma, a professora tenta destacar que √(-1) é um número que não pertence ao conjunto dos Reais, pois nenhum número Real ao quadrado, dá um número Real negativo. Ou seja, precisamos de um número não-Real, para acharmos as soluções Reais do problema. E esse número não-Real será o principal objeto de estudo nessa disciplina, que tem como foco o conjunto dos números Complexos.

        … Olhando a reação da turma, Emanuelly sentia que a turma estava assustada com aquilo tanto quanto com o exemplo do pêndulo que ela usou no semestre passado, mas dessa vez, estavam um pouco mais convencidos de que aquele conjunto numérico poderia ser útil para alguma coisa, afinal, estavam com as caixinhas de papel que fizeram no começo daquela aula.

        Percebendo isso, Emanuelly finaliza a aula explicando que chutar a solução do problema das caixinhas foi fácil, pois era um número inteiro, mas se alguma coisinha de nada mudasse no problema, tipo, que a segunda caixa fosse 3 cm³ menor que a primeira, o problema seria x³ – 15*x – 3 = 0… e dai, achar uma solução chutando é só mesmo com um milagre.


        Como referenciar este conteúdo em formato ABNT (baseado na norma NBR 6023/2018):

        SILVA, Marcos Henrique de Paula Dias da. Caixas reais, métodos complexos. In: UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS. Zero – Blog de Ciência da UnicampVolume 11. Ed. 1. 1º semestre de 2024. Campinas, 15 de maio 2024. Disponível em: https://www.blogs.unicamp.br/zero/5766/. Acesso em: <data-de-hoje>.

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