Como a Lógica pode nos salvar dos Cálculos – parte 1
Você consegue pensar em dois números Irracionais “a” e “b” tal que a^b seja Racional? (fizemos algo parecido no post Buracos Irracionais).
E para números Complexos, será que existem “a” e “b” tal que a^b seja Real?
À primeira vista, esses problemas parecem exigir teoria dos números ou cálculos avançados… mas surpreendentemente, um único princípio da lógica — a Lei do Terceiro Excluído de Aristóteles (já falamos disso no post Principium tertii exclusi e Reductio ad absurdum: antigos “feitiços” matemáticos) — pode resolvê-los quase instantaneamente, e sem dizer exatamente quem são esses números “a” e “b”. Essa antiga ferramenta lógica nos permite pular completamente os cálculos, mostrando como a própria lógica pode, às vezes, substituir a ação de calcular.
Vamos relembrar o que diz a Lei do Terceiro Excluído: Toda proposição A deve ser verdadeira ou falsa.
Apesar de bastante simples, ela é um princípio da lógica Clássica, e que não vale para alguns outros tipos de lógica (falamos de algo parecido no post A falha do Duplo Negativo-Inator). Vejamos como esse poderoso princípio resolve as duas questões com as quais iniciamos esse texto.
- “a” e “b” Irracinais tal que a^b seja Racional.
- Seja a = √2 e b = √2.
- √2^√2 é um número na forma a^b.
- √2^√2 é Racional ou Irracional
- Se √2^√2 for Racional, o problema está resolvido.
- Se √2^√2 for Irracional, então escolhemos a = √2^√2 e b = √2, logo a^b será da forma (√2^√2)^√2 = √2^(√2*√2) = √2^2= 2, que é um número Racional.
Observe que nenhum cálculo foi necessário para isso, mas também sequer sabemos quem deve ser o “a” para isso dar certo, mas sabemos que para algum dos dois casos, isso vai funcionar.
Agora vamos tentar replicar esse raciocínio para o conjunto dos Complexos.
- “a” e “b” Complexos tal que a^b seja Real.
- Seja a = i e b = i.
- i^i é um número na forma a^b.
- i^i é Real ou Complexo
- Se i^i for Real, o problema está resolvido.
- Se i^i for Complexo, então escolhemos a = i^i e b = -2i, logo a^b será da forma (i^i)^(-2i) = i^(-2i*i) = i^2 = -1, que é um número Real.
Observe que novamente, nenhum cálculo foi necessário para isso, mas também sequer sabemos quem deve ser o “a” para isso dar certo, mas sabemos que para algum dos dois casos, isso vai funcionar.
Créditos da imagem de capa à https://xkcd.com/1856/ que brinca exatamente com a ideia de que para matemáticos, muitas vezes é suficiente saber que existe uma solução, sem realmente encontrá-la (e destruí-la!).
Como referenciar este conteúdo em formato ABNT (baseado na norma NBR 6023/2018):
CARNIELLI, Walter. Como a Lógica pode nos salvar dos Cálculos – parte 1. In: UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS. Zero – Blog de Ciência da Unicamp. Volume 15. Ed. 1. 1º semestre de 2026. Campinas, 7 de Janeiro de 2026. Disponível em: https://www.blogs.unicamp.br/zero/6185/. Acesso em: <data-de-hoje>.