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Vamos jogar um joguinho bastante simples. Você lança uma moeda e se sair cara, eu te dou R$ 1,00. Se sair cara de novo, eu te pago R$ 2,00 e se o resultado se repetir novamente, eu dobro o valor para 4 reais, depois 8 e assim por diante. Quando sair coroa, o jogo acaba e você pode ficar com o que já ganhou.
Mas como eu não sou bobo de assumir o risco de te dar um real à toa, eu cobro ingressos dos jogadores. Porém, qual seria um valor justo para cobrir meus custos? Surpreendentemente, parece que eu deveria cobrar uma quantidade infinita de dinheiro. Acontece que a cada novo lance, sua chance de sucesso é 1/2, mas seu possível prêmio dobra. Assim, o prêmio total que você pode esperar — a soma dos prêmios multiplicados pela chance de serem ganhos — é infinito:
P = (1/2 × 1) + (1/4 × 2) + (1/8 × 4) + … = ∞
Nicholas Bernoulli (1695-1726) foi o primeiro a descrever esse problema em 1713, junto com o primo Daniel Bernoulli (1700-1782). Em 1724, quando Nicholas passou uma temporada em São Petersburgo, apresentou o problema ao czar Pedro, o Grande (1672-1725), que o batizou com o nome da capital de seu império.
Uma possível solução é que esse jogo ignora a psicologia humana e a condição social dos jogadores. Nós estamos considerando apenas o valor monetário do prêmio como algo maior do que o valor que a vitória tem para nós. E ouro vale mais para um miserável sem-teto do que para um bilionário.
Uma vez que acumulamos certa soma, o apelo para obter uma riqueza maior começa a diminuir. Mesmo que não percamos nada, as chances de ganhar são cada vez menores e assim vamos parando de arriscar. A não ser, é claro, que você seja desses que pensam que quanto mais dinheiro melhor, mesmo que não possa (ou nem queira) gastá-lo.
“Os matemáticos”, segundo Gabriel Cramer (1704-1752), “estimam o dinheiro em relação à sua quantidade e os homens de bom-senso em proporção ao uso que podem fazer dele.”