>Um Paradoxo Linear

Quase sempre, os paradoxos são paradoxais exatamente por apresentar uma certa circularidade auto-referencial (cf. o famoso Dilema de Tostines). O quase é porque o conjunto das sentenças abaixo forma o que seu descobridor, Stephen Yablo, chama de paradoxo linear (e não apenas graficamente):

Todas as sentenças abaixo dessa são falsas.
Todas as sentenças abaixo dessa são falsas.
Todas as sentenças abaixo dessa são falsas.
Todas as sentenças abaixo dessa são falsas.
Todas as sentenças abaixo dessa são falsas.
Todas as sentenças abaixo dessa são falsas.
Todas as sentenças abaixo dessa são falsas.
Todas as sentenças abaixo dessa são falsas.
Todas as sentenças abaixo dessa são falsas.

…ad infinitum…

Apresentado por Yablo em 1993, esse arranjo consegue ser paradoxal sem ser circular, isto é, sem conter auto-referência. As sentenças não podem ser todas falsas, pois isso tornaria verdadeira a primeira delas, causando uma contradição. Por outro lado, nenhuma delas pode ser verdadeira, pois uma única afirmativa verdadeira teria que ser seguida por uma infinidade de sentenças falsas, e a falsidade de qualquer uma delas implica a verdade daquela que seguem.

Em outras palavras, suponha que em algum lugar dessa sequência infinita de “Todas as sentenças abaixo dessa são falsas.” haja uma enésima sentença que seja verdadeira. Disso decorrem duas coisas:

• (a) a enésima-primeira sentença é falsa e 
• (b) qualquer sentença que esteja além da enésima-primeira é falsa também. 

Só que, segundo (b), o que a enésima-primeira sentença diz —  que todas as sentenças que estão abaixo dela são falsas — é verdadeiro e, portanto, ao contrário do que se conclui por (a), a enésima-primeira sentença é verdadeira. Portanto, qualquer sentença dada na sequência é falsa. Mas as sentenças subsequentes a qualquer sentença dada são todas falsas, o que valida a verdade da sentença dada como verdadeira.