Terra Plana

O problema da gravidade da Terra Plana não é um paradoxo – como foi sugerido pelo rafinha.bianchin – e, embora não seja uma situação natural, também não é fisicamente impossível. Porém, há mesmo uma pegadinha, que está na parte do infinito. Evidentemente, o disco do planeta poderia tender ao infinito, o que significa que pode ser muito, muito, muito grande. Mas como a massa é finita, isso não pode acontecer. A solução precisa apenas de pensamento analógico (e capacidade de deixar a gravidade um pouco de lado).

Para os que acham que a situação de um planeta plano é fisicamente impossível, lembre-se de uma pizza. Antes de ser achatada e aberta, a massa é mais ou menos esférica. Quanto mais se abre a massa, menor sua espessura. Mas não se pode abri-la indefinidamente por dois motivos: a massa da massa é finita e uma pizza infinta não teria espessura. Evidentemente, a massa da pizza é muito mais homogênea que a da Terra, masa dica que demos é considerar a densidade terrestre como sendo uniforme.

Aqui, podemos partir para outra analogia e deixar o chovinismo gravitacional um pouco de lado. E se, em vez da intensidade do campo gravitacional tivéssemos que encontrar a intensidade de um campo elétrico? Obviamente, há muitas diferenças entre as duas forças fundamentais, mas podemos facilmente pensar em uma massa como uma carga.

Antes de deixá-la de lado, vamos lembrar o que é a aceleração gravitacional. A aceleração gravitacional na superfície da Terra Esférica de raio R, massa M e densidade ρ pode ser escrita como

Para resolver o problema dado, temos que encontrar a magnitude da aceleração gravitacional na superfície de um disco muito grande [mas não infinito] de espessura H e densidade ρ, em um ponto distante da borda do disco. O resultado é relativamente fácil de obter usando uma analogia entre dois conjuntos de leis que governam as interações gravitacional e eletrostática.

Façamos as analogias entre a massa m (a “carga gravitacional”) e uma carga elétrica q; entre a constante gravitacional G e 1/(4πε₀) e entre a aceleração g = F/m e a intensidade do campo elétrico E = F/q. Em ambos os casos, F é a força experimentada pela “carga de teste”. Podemos então determinar a intensidade do campo elétrico (fora do disco) de um disco infinitamente grande que carrega uma distribuição de carga homogênea. Depois, podemos substituir quantidades análogas para obter a aceleração gravitacional de uma distribuição de massa em uma geometria similar.

A intensidade do campo eletrostático pode ser calculada pela aplicação do teorema de Gauss a um disco de área A,

onde Φ_E = 2AE é o fluxo elétrico (vide figura). Se a densidade da carga elétrica é ρ_q, então a carga total em torno da superfície fechada é

Portanto,

o que resulta em

para a intensidade do campo elétrico. Com as substituições relevantes para nossa analogia, a aceleração encontrada é g = 2πGρH. Isso deve ser igualado à aceleração gravitacional medida na superfície da Terra, i.e.

que podemos escrever assim

para obter a espessura da Terra Plana.

Pra variar, quem mais insistiu no problema foi o rafinha. Partindo da noção de volume, ele até fez uns cálculos interessantes, mas encontrou um valor muito maior:

V=1,33.π.r³
o volume de um cilindro, como a terra plana (considerando, naturalmente, o raio como igual em ambos), é dada por
V=π.r².h
igualando as expressões, temos
1,33.π.r³=π.r².h
cortando o que temos de cortar…
1,33r=h
sendo o raio equatorial da terra quase-esférica e real de 6378 km, temos que
1,33.6378=h
h=8504 km

O que é praticamente o dobro da solução analógica dada pela minha fonte. Qual é a solução correta? A mais simples ou a mais elaborada?

Nota: Dentro de duas semanas, teremos mais um Enigma. Eu pretendia começar a publicar uma trilogia de enigmas que envolve homenzinhos verdes e asteróides de titânio (isso é tudo o que posso adiantar), mas os problemas são bem mais difíceis e as soluções propostas me parecem ainda mais complicadas do que o problema acima (a fonte é a mesma), que parece ter intimidado vocês. Vocês topam desafiar os homenzinhos verdes ao longo de três semanas? Ou vou ter que encontrar um desafio mais simples?