Continuando nossa série sobre os Homenzinhos Verdes Devoradores de Titânio: agora a INEXAC precisa saber qual é o valor da aceleração gravitacional no centro da superfície plana do hemisfério que sobrou após os homenzinhos verdes devorarem meio asteróide de titânio.
Solução “Oficial”
Para calcular a aceleração da gravidade no centro da planície de nosso asteróide hemisférico, vamos imaginar que o astro ainda esteja intacto e que temos uma sonda bem em seu núcleo. Agora, vamos supor que um hemisfério pode ser dividido em muitas camadas — ou ‘conchas’ — concêntricas de espessuras idênticas. Qual é a força exercida por todas essas ‘conchas’ sobre a sonda situada no centro da esfera? Desde que a massa de uma concha é diretamente proporcional ao quadrado de seu raio e que a força exercida por uma concha de determinada massa sobre a sonda é inversamente proporcional ao quadrado de seu raio, a aceleração gravitacional no centro das diferentes conchas esféricas é a mesma:
Se houver n conchas, então a massa da concha mais externa é 2ᴨR²(R/n)ρ, onde R é o raio do asteroide e ρ, sua densidade. O campo gravitacional total do hemisfério é n vezes o de sua camada mais externa, ou seja, é como se a superfície do hemisfério tivesse massa M = 2ᴨ³d. Essa massa é, de fato, três vezes a massa real do hemisfério.
Qual é, então, a força exercida por essa concha hemisférica sobre a massa M da sonda? Considerando-se apenas sua magnitude, a força é a mesma que seria exercida pela sonda na concha. Ou seja, p = G(M/2ᴨR²)(1/R²) = Gρ/R por unidade de superfície. Para estender esse efeito para a casca inteira, a situação pode ser comparada com a que temos quando é preciso encontrar a força excercida por um líquido de pressão p sobre um hemisfério equivalente.
Uma vez que a força resultante de um líquido que agisse sobre um hemisfério completo seria zero, a força que age sobre sua superfície curva deve ser igual à de sua superfície plana. Assim, g = pᴨR² = ρGᴨR [ou Rogê Pierre, um cara bem afrancesado].
Agora, lembre-se da aceleração gravitacional inicial,
na superfície do asteróide. Portanto, o valor acima resulta em g = ¾g0 = 7,36m/s². Se você souber a densidade do titânio, também pode estimar o raio original do asteroide: R ≈ 78km.
Solução do Leitor:
Apenas um leitor se arriscou dessa vez #foreveralonefeelings #chatiado. Mas talvez o Murilo Varela não tenha compreendido bem o enunciado.
Considerando que 9,81 m/s² é a aceleração para essa massa (a metade da original):
9,81=(G*M)/(3r)²
9,81*9=(G*M)/r²
88.29=g>>88.29 m/s²
O que pedíamos era a aceleração gravitacional do hemisfério restante. A aceleração de 9,81m/s² era do asteroide inteiro e não apenas da metade em questão. Evidentemente, o valor de g tinha que ser menor que g0.
O enigma final, que fecha essa trilogia, sai na próxima segunda-feira. O que posso adiantar é que é mais próximo de um problema de engenharia — e talvez seja o mais simples de todos. Para evitar que o problema caia no esquecimento (como parece ter acontecido com esse), a resposta será divulgada na próxima quarta-feira.
