Café da manhã dos anões

Muito bem, na segunda-feira observamos os sete anões na mesa de café da manhã, partilhando o leite suas respectivas xícaras. A pergunta era: quanto leite cada xícara contém, dado que o total de leite era de 420ml?

Solução dos Leitores

Alguns leitores sugeriram que a solução consiste em encontrar uma progressão aritmética cuja soma seja 420. É uma boa estratégia, mas há mais de uma razão possível e apenas uma delas é a correta. O Flavim achou que r = 15ml:

a sacada é descobrir uma progressão aritmética de 7 numeros q some 420

Meus pouquinhos seriam na verdade de 15 ml…

Pelas minhas contas a sequencia seria A1= 105, A2 = 90, A3=75, A4 = 60, A5 = 45, A6 = 30, A7 = 15.

O gerson também:

1º anão com 105ml;
2º anão com 90ml
3º anão com 75ml
4º anão com 60ml
5º anão com 45ml
6º anão com 30ml
7º anão com os restantes 15ml

O Ricardo JJ encontrou r = 20ml e foi mais didático:

O último anão tem a sua xícara pura. Isso é certo.

Agora os outros, acho que é assim:
O sexto anão só tem um “pouquinho” de leite que o sétimo despejou, o quinto tem “dois pouquinhos” e assim por diante até o primeiro anão, que vai ter “seis pouquinhos” em sua xícara. Um total de “21 pouquinhos”, contendo então 20 ml cada “pouquinho” de leite.

Desse modo, o primeiro anão fica com (6*20)=120ml, o segundo com 100ml, o terceiro com 80ml, o quarto com 60ml, o quinto com 40ml e o sexto com 20ml.

Dada a possibilidade de mais de uma razão, ambas as soluções são possíveis, mas apenas uma é a correta. Quem acertou foi o Ricardo. Parabéns!

Solução Oficial

Este enigma foi adaptado de um problema da Olimpíada Nacional de Matemática da União Soviética de 1977. A solução era mais ou menos assim:

Uma vez que o estado final é igual ao estado inicial, podemos imaginar que esse café da manhã dos anões é um processo contínuo.

Considere o anão cuja xícara contém a menor quantidade de leite antes que ele comece a distribui-lo. Digamos que esse anão seja o Fili e  que ℓ é uma quantia qualquer de leite (em millitros). Uma vez que a xícara de Fili contém a menor quantia de leite antes da divisão, cada um dos outros anões deve ter uma quantidade de leite maior ou igual do que Fili antes da divisão.

Isso significa que Fili tem pelo menos ℓ/6 millitros, o que deixaria Fili com pelo menos ℓ mililitros em seu próprio copo antes de entorná-lo. O único modo pelo qual Fili pode receber precisamente ℓ mililitros — e sabemos que é isso que ele recebe — é se cada um dos outros seis anões lhe passa precisamente ℓ/6 millitros e nada mais. Isso significa que cada xícara, logo antes de ser entornada, contém a mesma quantia de leite. Então, após qualquer distribuição as xícaras ficam com ℓ, 5/6ℓ, 4/6ℓ, 3/6ℓ, 2/6ℓ, 1/6ℓ e zero. Se há um total de 420ml (cortesia de Bilbo Bolseiro), isso resulta em 120, 100, 80, 60, 40, 20 e 0 mililitros.

Evidentemente, o problema original não era ilustrado pelos anões de J.R.R. Tolkien.