Encontro postal

O enigma desta semana foi resolvido pelos leitores de maneira mais simples do que pensei (acho que eu não devia ter passado a dica). O problema do encontro postal é uma variante do clássico “dois trens partem de A e B, estando as estações situadas a 100km entre si…”.

Mas como não havia trens no século XVII, o matemático francês Jacques Ozanam (1640-1718) usou mensageiros (couriers) em seu Récréations mathématiques et physiques, livro publicado em 1694 e traduzido para o inglês em 1708.

Nos baseamos na tradução inglesa da obra, portentosamente intitulada Recreations Mathematical and Physical; Laying down and Solving Many Profitable and Delightful Problems of Arithmetick, Geometry, Opticks, Gnomonicks, Cosmography, Mechanicks, Physicks, and Pyrotechny [Recreações Matemáticas e Físicas, Apresentando e Solucionando Mui Úteis e Deleitosos Problemas de Aritmética, Geometria, Óptica, Gnomônica, Cosmografia, Mecânica, Física e Pirotecnia(!!!)]. A ilustração, porém, não consta do livro e, na verdade, é uma gravura de William Caxton (1422?-1492) feita em fins do séc. XV.

Dito isso, vamos à solução apresentada pelo Prof. Ozanam:

Para encontrar quantas Léguas o Mensageiro que estava na Estrada há 5 Dias viajou a cada Dia antes de encontrar o outro: subtraia 5, o número de Dias, de 25, seu Quadrado, e tendo multiplicado o resto, 20, pelo número do aumento diário de Léguas para esse Mensageiro, subtraia o produto, 40, de 100, o número de Léguas entre Paris e Lions; e divida o Restante 60 por 10, o dobro de 5, o número de Dias; e o Quociente 6 mostrar-lhe-á que o Mensageiro viajou 6 Léguas no primeiro Dia, e consequentemente 8 no segundo, 10 no terceiro, 12 no quarto e 14 no quinto.

De maneira similar, com referência ao outro Mensageiro, que chegou no meio do caminho em 4 Dias, subtraia 4, o número de Dias, de seu próprio Quadrado, 16, e tendo multiplicado o Resto 12 por 3, o número de seu aumento diário de Léguas, subtraia o Produto 36 de 100, a distância em Léguas entre Paris e Lions; e divida o Resto 64 por 8, o dobro de 4, o número de Dias; e o Quociente 8 mostrar-lhe-á que esse Mensageiro viajou 8 Léguas no primeiro dia e, consequentemente, 11 no segundo, 14 no terceiro e 17 no quarto.

Embora tenha havido uma confusão entre os cinco gatos-pingados comentaristas que responderam ao enigma, todos tiveram o mérito de terem sido mais claros e simples do que o professor francês. Já na primeira resposta, o Tiago matou o problema: “1°: 6 – 8 – 10 – 12 – 14 = 50 2°: 8 – 11 – 14 – 17 = 50”, mas ele viu outro problema, que não existe: “se sairam ao mesmo tempo e um chegou na metade em 5 dias e o outro em 4”. Como pode?

Curiosamente, a solução desse suposto problema estava no próprio enunciado do problema: “um vai de Paris a Lions, percorrendo a cada Dia 2 Léguas a mais que no Dia anterior, e o outro de Lions para Paris viaja a cada Dia 3 Léguas além do Dia precedente”. Quem não reparou nisso, deve ter se confundido.

Dessa pequena confusão, porém, surgiram duas hipóteses. O André Souza da Silva considerou que “Um viajava de dia e o outro viajava de noite.” e repetiu os cálculos do Tiago. E o Vitor contou até uma historinha: “Acho que um deles (o mais rápido) chega na metade do caminho no quarto dia à noite, para para descansar, acordando no dia seguinte, encontra o outro mensageiro chegando para descansar, cumprimenta-o e segue sua viagem”.

No entanto, após fazer seus próprios cálculos, o Vitor acabou corrigindo o André: “Se um viajasse de dia e o outro de noite, não teriam saído ao mesmo tempo. Foi a diferença do quanto viajavam por dia que foi alterando os horários de viagem ao longo do percurso.”

O rafinha.bianchin deve ter atentado para a nossa dica e trabalhou com fórmulas sobre PA, mas não foi bem-sucedido:

Temos que:
50 = a+(4-1)*2
50 = b+(5-1)*3
a+6 = b+12

Utilizando a fórmula para a soma dos termos, ficamos com:
50 = 5((a+(5-1)*2))/2
20 = a+8
a = 12
18-12 = b
b = 6

Então o primeiro andou 6 léguas no início e o segundo começou com 12.

primeiro: 12 – 14 – 16 – 18
segundo: 06 – 09 – 12 – 15 – 18

E ainda que todos quase todos tenham acabado acertando, o Igor foi, de longe, o mais didático. Sua resposta parece até uma tradução em linguagem moderna da solução apresentada pela nossa fonte:

Tiago, cada um viajou numa velocidade diferente. Quem chegou antes, foi mais rápido.

Chamando o primeiro de P(aris) e o segundo de L(ions):

P viajou 50 léguas em 5 dias, aumentando 2 léguas por dia. A única incógnita é a distância percorrida no primeiro dia, que chamo de X.
O segundo dia é X+2, o terceiro X+2+2 (que é X+4) e etc, até X+8 (2+2+2+2). Somando tudo, temos 5X (5 sendo o número de dias) + 20 (representando a taxa de aumento diário, em léguas) = 50 (léguas percorridas). 5X + 20 = 50 X = 6. No primeiro dia, P percorreu 6 léguas e duas a mais a cada dia, dando 6 + 8 + 10 + 12 + 14 = 50.

L viajou 50 léguas em 4 dias, aumentando 3 léguas por dia. Sua incógnita (o primeiro dia) será Y.
Usando a mesma lógica anterior, o segundo dia é Y+3, o terceiro é Y+3+3 (que é Y+6), até Y+9, no último dia. Somando, ficamos com 4Y + 18 = 50 Y = 8 léguas no primeiro dia. Então temos 8 + 11 + 14 + 17 = 50.

E por hoje é só, pessoal.