Ao longo de 25 anos, o matemático Joe Konhauser, do Macalester College, propôs um “problema da semana” aos seus alunos. Eis um exemplo:
Quinze folhas de papel de vários tamanhos e formas estão sobre uma escrivaninha, cobrindo-a completamente. As folhas podem se sobrepor e até pairar à beira da mesa. Prove que é possível remover cinco dessas folhas de modo que as dez restantes cubram dois terços da superfície da escrivaninha.
Valendo!
Italo
Confesso que esse me pegou. A única coisa que consegui pensar (embora eu reconheça alguma falha aqui ou acolá) foi:
5 folhas em 15, 1 terço. Sobram 10, 2 terços do original. 1 terço das folhas é retirado, 1 terço do espaço coberto é descoberto, deixando 2 terços cobertos pelas outras 10 folhas.
Roberto Takata
A menor área total das folhas é igual à área da superfície da escrivaninha. Sendo A_ft a soma da área das folhas e A_e a área da superfície da escrivaninha: A_ft >= A_e.
A área média das folhas é igual a: A_fm = A_ft/15
Haverá folhas maiores do que A_fm, o que significa que haverá folhas menores do que A_fm. Se remover as cinco menores folhas, a área total delas será menor do que 5*A_fm:
A_fp = A_ft - A_ft/3 >= (2/3)A_ft >= (2/3)A_e
Então, a área das folhas restantes no mínimo será igual a 2/3 da área da superfície da escrivaninha. Se for maior, basta rearranjá-las sobrepondo-as parcialmente.
[]s,
Roberto Takata
Vinicius Makoto Mori
Para mostrar que é possível, basta demonstrar um único caso. A estratégia é retirar as 5 menores folhas e configurar um cenário extremo, o caso em que as 5 menores folhas assumem a maior área e é obtido quando todas as folhas tem tamanho uniforme e não há margem alguma ou nenhuma sobreposição. O resultado da extração das 5 folhas é imediato 2/3 da superfície. A partir deste cenário, os outros são facilmente configuráveis através de uma composição de sobreposição e deixando partes pairando à beira da mesa. Mesmo no caso de uma única folha do tamanho da escrivaninha ou maior e as outras folhas tendendo à superfície 0, há uma configuração possível.
Willy
Separe as folhas em 3 grupos disjuntos de 5 folhas cada.
A area da mesa é igual a soma das areas exclusivas (area da mesa onde apenas folhas de um grupo conbrem) de cada grupo somado com a area coberta compartilhada (area da mesa onde folhas de mais de um grupo cobrem). Daí soma das areas exclusivas é menor ou igual a area da mesa, e portanto para algum grupo, a sua area exclusiva será menor que 1/3 da area da mesa. Retire esse grupo. Pelo menos 2/3 da area da mesa continuará coberta pois a area compartilhada continua coberta.
A mesa do professor universitário | hypercubic
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