Dobro ou metade?

Mais um curioso paradoxo divisado pelo matemágico Raymond Smullyan. Considere dois inteiros positivos, x e y. Um é o dobro do outro, mas não sabemos qual é. Assim, conclui-se que:

  • Se x é maior que y, segue-se que x = 2y e a diferença entre x e y é igual a y. Por outro lado, se y é o maior valor, então x = 0,5y e a diferença entre as incógnitas é expressa por y – 0,5y = 0,5y. Como y é maior que 0,5y, podemos dizer genericamente que, se x > y, a diferença de x e y é maior do que a diferença de y e x, se y > x.
  • Se d é a diferença entre x e y, isso é o mesmo que dizer que d tem o mesmo valor do menor número. Assim, geralmente, o excesso de x em relação a y, se x > y, é igual ao excesso de y em relação a x, se y > x.

As duas conclusões possíveis estão em clara contradição. Qual é o problema?

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  • Juca

    O erro está a partir dessa condição "podemos dizer genericamente que, se x > y,".

  • Manoel Santos

    Em x>y e y>x, as variáveis representam valores diferentes. Então como você pode comparar as duas diferenças?
    Por exemplo, se você simplesmente trocasse os valores de y e x, 2y no primeiro caso seria igual a y/2 no segundo.

  • Rafael Almeida

    Acho que os dois teriam o mesmo valor em módulo, mas um seria maior que o outro pois no caso de X>Y a diferença (X - Y) seria positiva, e no caso de Y>X a diferença (X - Y) seria negativa!

  • Edson Costa Flosi

    A situação acima não é paradoxal, e a contradição entre as conclusões é aparente, ou mesmo ilusória. O problema só ocorre porque, no primeiro raciocínio, atribuiu-se valor absoluto a y, e valor relativo (na verdade, referencial) a x. Assim, x será ou o dobro de y, se for o termo maior, ou a metade de y, se for o menor; mas y terá o mesmo valor nas duas situações, pois está sendo tomado por um número de valor absoluto, e não uma incógnita.

    Para mais fácil entendimento, substitua-se y por um número qualquer, digamos 6. Neste caso, a incógnita x valerá 12, se for maior do que y=6, ou valerá 3, se for menor do que y=6. A diferença entre x e y, portanto, deverá variar conforme x cambie de posição, ora é o dobro de y=6, ora é metade.

    Já o segundo raciocínio está expresso em lógica formal, e por isso os termos x e y não podem adquirir valores. A diferença d também não expressa um valor, mas uma relação formal entre os termos.

  • Edson Costa Flosi

    Em comentário anterior, uma resposta ao paradoxo de Smullyan, escrevi o termo 'incógnita' equivocadamente, por duas vezes. Leia-se, por favor, 'variável' nessas duas ocorrências. Vão me perdoar por meus neurônios que se esvaem...

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