Em 1993, na primeira edição do evento Gathering for Gardner — espécie de convenção de matemática recreativa em homenagem a Martin Gardner (1914-2010) —, David Singmaster apresentou o seguinte enigma:

Minha filha Jessica tem 16 anos e está bastante ciente de sua idade. Nossa vizinha Helen tem apenas 8 e eu provoquei Jessica dizendo-lhe: “Sete anos atrás, você era 9 vezes mais velha que Helen; há seis anos, você tinha 5 vezes a idade dela; há quatro, você tinha o triplo da idade dela e agora você tem apenas o dobro. Se você não se cuidar, logo vocês duas terão a mesma idade!”

Jessica ficou aborrecida e saiu murmurando. Então eu a vi fazer alguns rabiscos.

No dia seguinte, ela disse pra mim: “Pai, esse é o limite! Aliás, você chegou a considerar quando eu teria metade da idade de Helen?” Agora era a minha vez de ficar aborrecido e eu é que comecei a murmurar – “Isso é impossível, você é sempre mais velha que Helen.”

“Não seja tão positivo”, disse Jessica, saindo para a escola.

Vocês podem me ajudar?

Categorias: enigmas

0 comentário

Roberto Takata · 18 de junho de 2012 às 13:17

Sendo J(ta) a idade atual (sendo ta o ano corrente) de Jéssica: J(ta) = 16; e H(ta) a de Helen: H(ta) = 8. A diferença D(ta) é de J(ta) – H(ta) = 16 – 8 = 8 anos.

No tempo t (em anos), Jéssica tem idade J(t) = J(ta) + (t-ta); e Helen: H(t) = H(ta) + (t-ta). A diferença D(t) = J(t) – H(t) = J(ta) + (t-ta) – [H(ta) + (t-ta)] = J(ta) – H(ta) = D(ta). Isto é, a diferença D(t) é fixa = 8.

Já a razão R(t) das idades é igual da:
R(t) = J(t)/H(t) = [J(ta) + (t-ta)]/[H(ta) + (t-ta)] = [H(a) + D(t) + (t-ta)]/[H(a) + (t-ta)] = H(a)/[H(a) + (t-ta)] + D(t)/[H(a) + (t-ta)] + (t-ta)/[H(a) + (t-ta)]

Quando t -> oo:
limR(t)[t->oo] = 0 + 0 + 1 = 1

O tempo t em que R(t) = 1/2 seria:
R(t) = [16 + (t-ta)]/[8 + (t-ta)] = 1/2

8 + (t-ta) = 2[16 + (t-ta)]
8 + (t-ta) = 32 + 2(t-ta)
t-ta = -24
t = ta-24

J(ta-24) = J(ta) + (t-ta) = 16 + (ta-24+ta) = 16 -24 = -8 anos
H(ta-24) = H(ta) + (t-ta) = 8 -24 = -16 anos

Como a idade de uma pessoa é contada a partir da data de nascimento, isto é, do parto; se ambas tiverem sido concebidas anos antes (digamos, por inseminação artificial) e mantidas congeladas até o procedimento de implantação no útero, faz sentido falar em idades negativas. Curiosamente, Jessica poderia ser originária de um zigoto gerado *depois* do de Helen – e ainda assim ser a irmã mais velha.

[]s,

Roberto Takata

José · 18 de junho de 2012 às 16:10

Com essa grande dica em “Não seja tão positivo”, não podemos deixar de notar que quando elas ainda não eram nascidas há 24 anos atrás, Jéssica tinha -8 anos e helen -16 anos.

Eden Thiago · 18 de junho de 2012 às 16:53

Quando Jessica tivesse, teve, ou não sei, -8 anos, Helen teria -16, logo o dobro.

Renato Pincelli · 18 de junho de 2012 às 22:34

Pô, Takata!

O problema é um pouquinho mais difícil que os enigmas anteriores, mas não precisava humilhar o pessoal (inclusive este que vos escreve).

Abraços com menção honrosa,
Renato.

Luis Brudna · 19 de junho de 2012 às 17:03

Takata responde!

Jovem ainda, jovem ainda… | hypercubic · 19 de junho de 2012 às 16:01

[…] edição do Gathering for Gardner, Singmaster não apresentou nenhuma resposta oficial para o problema da idade de sua filha, mas eu encontrei uma solução que me parece possível (o Takata foi mais preciso que eu nos […]

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