image_thumb.pngNo enigma publicado no começo da semana, nos vimos diante de um modelo em escala do sistema solar no qual a Unidade Astronômica equivale a um metro. Uma criança pergunta qual seria a duração de um ano para a Terra do modelo. E então: um ano pode ser reduzido em escala?

Soluções dos leitores

Nove Onze comentários (dois dos quais via Facebook) discutiram o problema. O franco abriu os trabalhos e considerou que bastaria calcular a circunferência da órbita do modelo:

“duração” do ano em metros = 1. pi = 3,14 metros.
divide-se isso por 365,25 e temos o valor do dia em “metros”.

Mais tarde o KK cometeria praticamente o mesmo erro, talvez por confudirem ano com translação. Ambos consideraram, de forma parecida, que um ano em escala seria apenas a trajetória, devidamente reduzida, do planeta ao redor do sol. no modelo em questão. Pensaram espacialmente. Mas o que queremos saber é se dá pra reduzir a duração temporal de uma translação.

O Sergio Murilo considera que não haveria diferença alguma na duração do ano:

Eu diria que um ano nessa escala duraria um ano… O que mudaria, por causa da escala, seria a velocidade aparente do movimento da Terra em torno do Sol.

O sempre prolixo rafinha.bianchin atuou como um moderador não-autorizado ao apresentar réplicas a alguns comentários. Depois, fez suas considerações, que podem ser vistas como um desenvolvimento da teoria do Sergio:

Ok, vamos aproximar a translação para um círculo, já que apenas a distância média é de 1 m. O comprimento total é de aproximadamente 6,28 m. A velocidade linear da Terra é, em média, 108,88 km/h.
Rodando 360° em 365 dias, temos 0,9863°/dia de velocidade angular. Se esta velocidade fosse a mesma na maquete, um ano duraria… um ano!

Na mosca! Não faz diferença. Sendo tudo o mais proporcionalmente reduzido (inclusive a velocidade de translação), a duração do ano seria a mesma tanto na maquete quanto no sistema solar real. O problema é realmente simples, porém contraintuitivo. Tendemos a achar, um tanto infantilmente, que uma menor distância a percorrer significa menos tempo de viagem. Isso nem sempre é verdade.

Solução “oficial”

Mais uma vez, retiramos nosso enigma da obra 200 Puzzling Physics Problems (Peter Gnädig et. al., Londres, 2000). Eis a solução apresentada no livro:

Iguale a força de atração entre a Terra e o Sol à força centrípeta que [no modelo em escala] mantém a Terra em sua órbita aproximadamente circular e expresse a velocidade angular ω em termos de T, o período da revolução. Isso dá

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onde M e m são, respectivamente, as massas do Sol e da Terra e r a distância média entre eles. Divida por m e expresse M em termos da densidade média ρ e raio R do Sol. Assim:

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Isso leva a

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para o período da revolução.

Podemos ver que o período de rotação da Terra depende apenas da constante gravitacional G, da densidade média do Sol e da razão r/R. Portanto, se a densidade da matéria mantém-se constante, qualquer escalonamento do sistema solar deixa inalterada a duração de um ano. Pode-se ver também que apenas o tamanho e a densidade do Sol são relevantes. Os dados da Terra não são. Qualquer corpo que seja pequeno em tamanho relativo ao Sol teria o mesmo período e seguiria a mesma órbita [da Terra].

Nota: esse resultado também pode ser obtido com o uso da Terceira Lei de Kepler: T²/a³ = 4π²/GM, onde a é o semi-eixo maior da órbita elíptica da Terra. Se a massa solar é expressa em termos de sua densidade média, então fica claro que uma redução proporcional não altera o período dos planetas em órbitas elípticas.

A não ser que estejamos diante de uma criança-prodígio, essa não é, evidentemente, a melhor maneira de responder à curiosidade infantil. Quem melhor conseguiu uma resposta simultaneamente simples e correta foi o Igor, com sua analogia do distanciamento:

Reduzir em escala é o mesmo que aumentar a distância entre o observador e o objeto.
Imaginando que a maquete é o sistema solar e o observador está a uma distância suficiente para que a Terra pareça estar a um metro do Sol, um ano vai continuar durando um ano mas a velocidade (que é uma função do espaço percorrido sobre o tempo decorrido) de translação será consideravelmente menor.

No entanto, há um porém, segundo o nosso vizinho de cerca bloguístico:

Considerando a dica: se as massas forem as mesmas e a distância real for um metro, esse sistema rapidamente se tornará um corpo só e algum tipo de explosão atômica se dará. Algo como uma mini-supernova que, ao se deslocar com pouco menos que a velocidade da luz, fará com que o tempo dentro de sua esfera de observação pareça praticamente infinito.
Desta forma, o que conhecemos como “um ano”, demoraria uma eternidade ao invés das oito mil e tantas horas tradicionais.

Igor, parabéns pela atenção à dica, mas não precisava tomá-la ao pé da letra. 😉

Menções honrosas ao franco (já citado) e ao Daniel, que sugeriram o uso da Terceira Lei de Kepler. Pena que não desenvolveram seus argumentos nesse sentido…

Categorias: Geral

0 comentário

rafinha.bianchin · 21 de fevereiro de 2013 às 23:22

Eu sou prolixo porque transformo cálculos crus em texto digerível/digestível?

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Meu professor de algoritmo e programação sugeriu um problema referente ao somatório dos termos de uma P.A. Ele queria que usássemos laços de repetição, enquanto eu sugeri o uso da equação propícia para o caso. Ele aceitou a sugestão, mas ressaltou que o uso de laços era preferível porque uma criança, por exemplo, poderia compreender o emaranhado de for’s, while’s e if’s, mas não entenderia o desenvolvimento da fórmula. Meus colegas riram atrás de mim.

    Renato Pincelli · 22 de fevereiro de 2013 às 12:18

    Não necessariamente. Aliás, se acha que se expressa melhor com números, do it!

Igor Santos · 21 de fevereiro de 2013 às 23:49

Não tem como não levar ao pé da letra. São muitos anos prestando atenção aos enunciados – onde a maioria das respostas de enigmas se encontram.

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