http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Andr%C3%A9-Henri_Dargelas_-_Boys_Playing_Marbles_-_Walters_371636.jpg

André-Henri Dargelas, “Boys playing marbles”, grafite sobre papel, c. 1860. (via Wikimedia)

Pedro e Paulo (os personagens favoritos de autores sobre probabilidade) jogam um jogo com suas bolinhas de gude*. Pedro tem duas bolinhas e Paulo tem uma. Eles disputam pra ver qual deles consegue deixar a bolinha mais próximo de um ponto fixo — um espetinho fincado no chão, por exemplo. Supondo que ambos são igualmente hábeis, qual é a probabilidade de Pedro ganhar?

(a) Sendo os dois jogadores igualmente habilidosos, todas as três bolinhas têm a mesma chance de vitória. Mas, das 3 bolinhas de gude, 2 são do Pedro. Logo, a probabilidade de que o Pedro ganhe é de 2/3.
(b) Há quatro casos possíveis. Dos 2 gudes de Pedro, ambos podem ser melhores que a bolinha do Paulo ou a primeira bolinha pode ser melhor e a segunda, pior; ou a segunda pode ser melhor e a primeira, pior; ou ambas podem ser piores. Dos 4 casos, o único no qual Pedro perde é o último — i.e., aquele no qual suas duas bolinhas são piores do que a do Paulo. Daí temos que a probabilidade de Pedro ganhar é de 3/4.

Qual resultado devemos aceitar como correto, 2/3 ou 3/4?

Nível: Fácil. Dica: parece um paradoxo à primeira vista, mas uma análise atenta mostra que um dos resultados propostos é uma pegadinha. Solução: próxima quarta, 06/02.

__________

* Para os portugueses, bolinha de gude é berlinde. Outras denominações populares Brasil afora: burquinha, burca, baleba, bila, biloca, bilosca, birosca, bolinha-de-gude, bolita, boleba, bolega, bolita, bugalho, búraca, búlica, búrica, bute, cabiçulinha, carolo, clica, firo, fubeca, guelas, nica, peca, peteca, pinica, pirosca, bolinha, piripiri, xingaua, kamikaze, ximbra e bolíndri.

Categorias: enigmas

0 comentário

rafinha.bianchin · 4 de fevereiro de 2013 às 22:00

Essa foi muito boa. Meus pensamentos relativos a termodinâmica estatística me levaram a preferir a segunda… intuitivamente. Ainda mostrarei a minha demonstração.
Mas por que Pedro e Paulo? A probabilidade de que Pedro ganhe é de P(P)? Esses estatísticos são uns doidos.
Ah, e esqueceu-te de mudar a cor da dica…

    Renato Pincelli · 4 de fevereiro de 2013 às 22:08

    Não, dessa vez a dica foi intencionalmente mostrada. 😉

    rafinha.bianchin · 4 de fevereiro de 2013 às 22:38

    Peraí, Pedro não deveria ter o dobro da chance de Paulo.

rafinha.bianchin · 4 de fevereiro de 2013 às 22:46

Desculpa a inconveniência, mas gostaria de pedir anulação de resultado.
Como é de hábito, vou explicar pela álgebra, mas vou tentar ser menos ‘prolixo’.
Pois bem, temos, naturalmente, que:

Pe-2Pa=0
Pe+Pa=1

Oba, um sistema linear!

3Pa=1
Pa = 1/3
Pe + Pa = 1
Pe = 1 – 1/3
Pa = 2/3

Logo, a alternativa “a)” é a correta.
Só não consigo identificar o eventual “erro” da segunda opção.

Fabrício Lara · 5 de fevereiro de 2013 às 18:05

Vou aplicar meus conhecimentos práticos pra resolver essa: a resposta depende da ordem das jogadas. Eu me explico:
Como os dois tem a mesma habilidade, existe uma probabilidade igual de cada bola ganhar. Até aí, a resposta seria (a). Mas em cada jogada de Pedro há uma probabilidade de acertar a bola de Paulo, e ela sair do jogo. Pela experiência pessoal, essa probabilidade é alta, pois eu sempre mirava exatamente para que isso acontecesse.
Digamos que a probabilidade de uma colisão desse tipo acontecer seja x.
Então, se Paulo joga antes, a probabilidade de Pedro ganhar é 2/3+2*x-x^2 (2 chances para a colisão ocorrer, mas ela só pode ocorrer 1 vez).
Se Pedro joga antes, a probabilidade de ele ganhar é 2/3-2*x (tem 2 bolas pra Paulo acertar).
Se Pedro joga uma antes e outra depois, a probabilidade é 2/3-x+x=2/3 (como pode ocorrer uma colisão para cada lado, a probabilidade se anula).
Agora, para dar uma resposta definitiva, considero que em cada jogada, é sorteado qual dos dois joga. Então tem 1/4 de ser Pe,Pe,Pa; 1/4 de Pa,Pe,Pe; e 1/2 de Pe,Pa,Pe. Então a resposta final é que a probabilidade de Pedro ganhar é 2/3-x^2/4.

Vitor · 5 de fevereiro de 2013 às 20:44

Suspeito que a segunda opção está omitindo duas situações: Quando todas as bolinhas de ambos jogadores acertam igualmente e quando todas perdem igualmente. Desse modo, há um total de 6 possibilidades em que Pedro perde em 2 (pois quando todas perdem ele também perde).

Então fica 2/6 = 1/3

Igor Santos · 5 de fevereiro de 2013 às 21:02

A chance da primeira ganhar e a segunda perder é igual ao vice-versa, já que Pedro só pode jogar uma vez cada uma, não alterando a ordem.
2/3

    rafinha.bianchin · 6 de fevereiro de 2013 às 17:52

    (y)

rafinha.bianchin · 6 de fevereiro de 2013 às 19:31

Aliás, faz o favor de começar a por o horário da divulgação da resposta, senão eu começo a aplicar o paradoxo do prisioneiro! [brincadeira]

    Renato Pincelli · 6 de fevereiro de 2013 às 20:52

    Ora essa! Desse jeito não vou divulgar nem o dia da resposta e só passo a publicá-la quando me der na telha! [já está saindo]

As bolinhas de gude | hypercubic · 6 de fevereiro de 2013 às 22:01

[…] enigma desta semana foi bastante diferente. Tínhamos dois garotos — Pedro e Paulo — e suas bolinhas de gude. Sabendo que ambos eram igualmente habilidosos (e que Pedro tinha duas bolinhas e Paulo só uma), […]

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