10 anos lutando para resolver uma equação

Matemático alemão conta como foi sua luta de uma década para solucionar uma equação considerada insolúvel (acima). Dica: fórmulas antigas e a Wikipédia não devem ser desprezadas.

Entrevista a Christina Heimken, reproduzida pelo Phys.org. Tradução de Renato Pincelli.

Após 10 anos, o Professor Raimar Wulkenhaar, do Instituto Matemático da Universidade de Münster [Alemanha] e seu colega, Dr. Erik Panzer, da Universidade de Oxford [Reino Unido] resolveram uma equação matemática considerada insolúvel. A equação é usada para encontrar respostas a perguntas levantadas pela Física de Partículas Elementares. Nesta entrevista, Wulkenhaar relembra os desafios encontrados na busca da fórmula por uma solução e explica por que o trabalho ainda não está finalizado.

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Christina Heimken: Você trabalhou na solução da equação por 10 anos. O que a tornou tão difícil de resolver?
Raimar Wulkenhaar: Trata-se de uma equação integral não-linear, com duas variáveis. Uma equação assim é tão complexa que você realmente pensa que não pode haver uma fórmula possível para a solução. Sozinhas, as duas variáveis já são um desafio e não existem abordagens estabelecidas para encontrar uma solução para equações integrais não-lineares. Apesar de tudo, vez após vez ao longo desses 10 anos, tivemos alguns fios de esperança. Como resultado, apesar de todas as dificuldades, eu pensei que encontrar uma fórmula explícita para uma solução — expressa por meio de funções conhecidas — era realmente possível.

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C.H.: Que uso poderia ter essa equação?
R.W.: Ela é sobre o entendimento matemático das terias de campos quânticos. Pertencem ao campo da Física e têm um papel nos experimentos de larga escala, como os realizados no CERN. Seu objetivo é descrever matematicamente as partículas elementares, i.e., os menores componentes conhecidos da matéria. Mas isso é tão complicado que, em vez disso, descrevemos matematicamente partículas imaginárias que têm algumas propriedades das partículas reais. A esperança é que um dia as partículas reais possam ser descritas usando os métodos estabelecidos dessa forma.

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C.H.: Após trabalhar no problema por 10 anos, você superou um limite esse ano. Como isso foi alcançado?
R.W.: Mais ou menos no final de maio, experimentei uma ideia para a qual meu orientado de doutorado, Alexander Hock, deu o impulso decisivo. Eu trabalhei numa nova equação — mais simples do que a antecedente — e comecei a resolvê-la em loops. Isso significa fazer uma abordagem da solução por etapas, passo a passo, ou loop a loop, calculando o lado esquerdo da equação num passo e usando-o para o lado direito da equação no passo seguinte.

No quarto loop, tive que calcular uma soma de 46 integrais [!!] que continha, entre outras coisas, poli-logaritmos. Esses poli-logaritmos, que são algumas das funções mais exigentes, se tornavam mais complicados a cada etapa. Minha sorte foi que, na soma, quase tudo era cancelado e o que sobrava era apenas uma pequena soma de potências de logaritmos normais. Imediatamente, percebi que havia um tesouro a ser escavado ali.

O quinto loop não foi tão simples de resolver — mas mais uma vez eu tive sorte. Durante um curso de verão nos Alpes Franceses, tive a oportunidade de conversar com especialistas nessas funções. Um deles foi o Dr. Erik Panzer, da Universidade de Oxford. Ele havia escrito um programa de computador sobre a matemática simbólica dos hiperlogaritmos e me deu apoio. Do dia pra noite, esse programa calculou minha equação até o sétimo loop. Meus resultados até o quarto loop foram confirmados e depois disso o milagre prosseguiu — tudo poderia ser quebrado e reduzido em logaritmos normais. Um padrão começou a se formar!

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C.H.: O que isso quer dizer?
R.W.: Será que você se lembra do Triângulo de Pascal nas aulas da escola, com seus coeficientes binomiais? No triângulo, cada número inserido numa linha é a soma dos dois números acima dele. E foi uma estrutura triangular assim que encontramos em nossos loops — ainda que mais complicada que um Triângulo de Pascal.

Em 9 de junho, foram completados os loops oito e nove. Depois veio aquele que deve ter sido o momento mais importante: Erik Panzer decifrou uma fórmula chamada recursiva, que gera cada linha do triângulo a partir da linha antecedente, o que nos permite extrapolar o desconhecido a partir do conhecido.

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C.H.: O que se passou em sua cabeça naquele momento?
R.W.: Uma das coisas que pensei foi: “ninguém pode ter tanta sorte”. Foi aí que percebi que iríamos resolver a equação. No nosso jantar, botamos uma garrafa de vinho em nossa mesa…

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C.H.: …e depois voltaram ao trabalho.
R.W.: Sim. Logo no dia seguinte tive sucesso em reduzir parte da equação a uma série simples de derivadas. Inicialmente, o resto parecia difícil. Foi só no fim da noite que topei com a ideia de usar a fórmula de Cauchy para solucioná-la. Programei meu alarme para as 5:30 da manhã seguinte e tentei trabalhar tão logo quanto possível. Funcionou na primeira tentativa e na etapa seguinte, dei com uma fórmula que vejo com frequência. Eu sabia que [a equação] se resolveria pelo uso da Função Lambert W. Poucos minutos depois, recebi um e-mail do Erik Panzer: ele também havia pensando na função Lambert, mas por um outro caminho. O resultado é que conseguimos fazer algo que não havia sido factível por 10 anos: a solução de uma equação integral que descreve o modelo de uma teoria de campo quântico. Foi incrível.

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C.H.: Você usa ideias e métodos desenvolvidos por matemáticos no século XVIII e que hoje quase caíram completamente no esquecimento.
R.W.: Essas velhas formulae [fórmulas] nos ajudaram bastante. A Função Lambert W, que é parte fundamental de nossa solução, leva o nome do matemático suíço Johann Heinrich Lambert. Essa equação aparece num grande número de problemas inteiramente distintos. Devido ao desconhecimento sobre o trabalho de Lambert, a função Lambert foi inventada várias vezes e só foi estabelecida como padrão em 1993.

Também usamos a fórmula de Lagrange-Bürmann, que nos ajudou a resolver uma integral com auxílio da função Lambert, bem como a fórmula de Cauchy. Geralmente, os matemáticos têm muito respeito pelos seus antecessores. Nomes como Euler, Lambert, Lagrange, Cauchy, Gauss e Hilbert são citados com o devido reconhecimento por suas realizações. Mas existem duas ferramentas modernas que eu não poderia dispensar: a Wikipédia e a álgebra computacional. Na Wikipédia, você pode encontrar informações detalhadas sobre estruturas matemática e funções bem conhecidas — e outras quase desconhecidas. Computadores podem resolver equações incomparavelmente mais rápido do que à mão e sem quaisquer erros.

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C.H.: Quais serão os próximos passos?
R.W.: Em nossa solução, ocorre uma nova função, que batizamos de função Nielsen [acima]. Quando a entendermos melhor e, por exemplo, tivermos noção de como ela se relaciona com outras funções, iremos submeter nosso trabalho — que está livremente acessível on-line na forma de pré-print — para publicação numa revista especializada com revisão por pares.

Depois disso, gostaria de continuar alguns trabalhos com meu colega, o Prof. Harald Grosse, de Viena, com quem estou envolvido desde 2002. Trata de uma teoria de campo quântico para partículas matemáticas. Agora, com ajuda da equação que resolvemos, seremos capazes de entender completamente esse modelo.

Referência

Erik Panzer & Raimar Wulkenhaar. Lambert-W solves the noncommutative Φ4-model. arXiv:1807.02945 [math-ph], 9 de julho de 2018.