Fim dos Homenzinhos Verdes Devoradores de Titânio

Os três enigmas dessa série foram mais complicados do que eu pensava e menos gente do que eu esperava se arriscou nos comentários. Ainda assim, foi um sucesso: cada enigma teve uma média de mais de 700 visualizações! Assim, encerrando essa trilogia de quebrar a cabeça, segue-se a solução para o acidente que pôs fim aos nossos Homenzinhos Verdes Devoradores de Titânio e uma sugestão de um leitor.

Solução “Oficial”

Se pudéssemos calcular o trabalho W [manteremos W (de work) em lugar de T (de trabalho) por mera clareza] necessário para separar os dois hemisférios pela distância d = 1 m, a força atrativa poderia ser encontrada por meio de W = Fd. Mas como podemos determinar W? Certamente não será de modo direto, como produto da força pelo deslocamento. Algum outro método terá de ser empregado.

A energia gravitacional potencial do sistema aumenta quando os hemisférios são deslocados. W tem o mesmo valor desse aumento, que pode ser calculado pela determinação do trabalho feito pelos homenzinhos verdes ao carregar para a superfície o titânio originalmente contido no disco de raio R e espessura d. Podemos considerar que o metal extraído foi transportado até a superfície através de dispositivos com atrito desprezível e depois foi espalhado igualmente sobre a superfície do asteróide.

Sendo g a aceleração gravitacional na superfície do asteróide de massa M, então a aceleração gravitacional na distância x do centro é g(x) = xg/R. A densidade do asteróide, que é de titânio, é ρ = 3M/(4πR³). Considere o metal, de volume ∆V = d²πx∆x e massa ∆M = ρ∆V, que estava originalmente situado entre os raios x e ∆x (vide figura). Uma força, ∆mgx/R, age sobre esse metal em sua posição original, enquanto na superfície a força correspondente é ∆mg. Como o campo gravitacional aumenta uniformemente do interior para a superfície do asteróide, podemos usar a média aritmética das forças inicial e final. O deslocamento total é R – x e, portanto, o trabalho realizado será…

O trabalho total envolvido é a soma de trazer o titânio para cima a partir de diferentes profundidades. Ou seja,

No limite, considerando-se camadas de espessuras minúsculas, a soma acima torna-se uma integral com valor

Portanto, o trabalho realizado é W = ³/₁₆Mgd.

[Nota: o mesmo resultado pode ser obtido sem o uso de cálculo integral. Introduza uma nova variável, u = x²/R² no lugar de x (0 ≤ u ≤ 1) e substitua a somatória de camadas de diferentes profundidades pela soma dos termos correspondentes para diferentes valores de u. Usando as relações u = x²/R² e u + ∆u = (x+∆x)²/R² (e desconsiderando os termos que contém o quadrado da pequena variável ∆x), o trabalho realizado pode ser expresso por

Essa soma pode ser prontamente avaliada, uma vez que 1 – u muda uniformemente de 1 para 0 e, portanto, podemos tomar 1/2 como uma média, enquanto que a soma dos termos em ∆u é 1. No fim, obtemos a expressão previamente apresentada para o trabalho realizado.]

Um “gigante mítico” faria um trabalho W = 3/16Mgd ao separar os hemisférios por d. Assim, a força necessária é F = 3Mg/16. Essa é a força de atração entre os hemisférios e é a força que as escoras deveriam ter suportado. Sabendo o raio do asteróide e a densidade do titânio, podemos determinar essa força numericamente:

Para ter uma noção da ordem de magnitude dessa força, podemos calcular a pressão média exercida sobre uma unidade de área superficial como p = F/(πR²) = 1,4.10⁵ Pa — ou seja, uma vez e meia a pressão atmosférica sobre a Terra. Esse é o peso, na Terra, de 14 toneladas de matéria. Escoras suficientemente resistentes teriam suportado tal carga.

[Nota: O resultado para a força total também pode ser obtido na forma de uma dupla integral em uma abordagem de cálculo puro. Seja o elemento volume, dV = 2πrsenθrdθdr no hemisfério à direita, com o eixo de simetria do mesmo hemisfério considerado como eixo polar. A força dF agindo sobre o hemisfério, na direção do centro da esfera, é igual a ρdVG(Mr³/R3/r²). A componente de dF no sentido da esquerda é dFcosθ e a força total que puxa o hemisfério direito para a esquerda é a dupla integral disso: dr de 0 a R; dθ de 0 a π/2. Assim, usando g = GM/R² e ρ = 3M/(4πR³) teremos a mesma resposta que apresentamos acima.]

Solução do Leitor

O rafinha.bianchin conseguiu um resultado muito próximo da solução anterior usando cálculos muito mais simples:

d=m/v m=dv v=0.75πr v=23561.94 m³
d=4507kg/m³ m=106193685,67kg = 1,062*10^8kg

A massa de um hemisfério é, portanto, 5,0*10^7kg

F=G m1*m2/d^2 F=6,67*10^-11* (5*10^7)^2/1^2 F=166750 N

Essa é a força gravitacional exercida sobre as escoras.
A titulo de comparação, isso é equivalente a…
F=ma 166750=m*9.81 m=16997.9 kg
…um peso de 17 toneladas diretamente sobre um corpo.

Me pergunto se a diferença (que é relativamente pequena) entre as duas soluções se deve à simplificação usada pelo rafinha. Acredito que sim, mas como não sou matemático (e nem estudante de exatas), não posso dar certeza.

Ah, sim. Desde o começo dessa série, muitos têm me perguntado de onde tirei os Homenzinhos Verdes Devoradores de Titânio.  A referência é a seguinte: GNÄDIG, P.; HONYEK, G.; RILEY, K.F. 200 Puzzling Physics Problems. Cambridge: Cambridge University Press, 2001. Ainda pretendo me basear nesse livro para alguns enigmas futuros.