Homenzinhos Verdes Devoradores de Titânio

A seguir, a íntegra da solução do enigma dos Homenzinhos Verdes Devoradores de Titânio, conforme apresentada pela minha fonte. É longa, complicada e me parece no mínimo polêmica. Ei-la:

Considere primeiro o caso do poço de testes. Seu volume é neglivível em comparação com o asteróide. Seja ρ a densidade do astro e R o seu raio. A aceleração gravitacional no raio r é a mesma se e somente se a esfera de raio r abaixo dela estivesse presente:

Assim, a aceleração gravitacional é diretamente proporcional à distância do centro do asteróide e sempre aponta para ele.

Isso significa que o primeiro homenzinho verde devorador de titânio azarado sofreu sua queda como uma oscilação harmônica de amplitude R e faleceu após executar o primeiro “quarto-período” da oscilação. O coeficiente de r na expressão acima corresponde a ω², i.e., ao quadrado da frequência angular. Portanto, a duração da queda foi de:

A velocidade com a qual ele colidiu com o fundo do poço pode ser obtida como o produto de sua amplitude e frequência angular:

No momento em que o segundo acidente ocorreu, os homenzinhos verdes já haviam devorado 1/8 do material do asteróide. O campo gravitacional na cavidade esférica, que se extende da superfície do planetésimo ao seu centro deve ser determinada. Isso pode ser feito através da aplicação do princípio da superposição: imagine que a cavidade seja preenchida com uma mistura de titânio “comum” e titânio exótico, com “densidade negativa”.

Os campos gravitacionais do asteroide completo e da esfera de “titânio negativo” têm que ser somadas. O vetor r aponta para um ponto P arbitrário na cavidade, o vetor c do centro da cavidade para o centro do asteróide e o vetor r+c aponta do centro da cavidade para o ponto P. Veja a figura a seguir:

As acelerações gravitacionais (do asteróide homogêneo, da cavidade e sua resultante) são proporcionais aos vetores de posição, sendo o coeficiente de proporcionalidade previamente denotado por –ω². A “falta de matéria” na cavidade é representada por uma densidade negativa.

A aceleração resultante é:

A aceleração gravitacional é um vetor constante, independente da posição de P no interior da cavidade. Isso significa que há um campo gravitacional homogêneo na cavidade, com magnitude –ω²R/2, que equivale à aceleração gravitacional do ponto no meio do poço de teste (ou seja, no centro da cavidade).

Nota: Similarmente, pode-se demonstrar que há um campo homogêneo em qualquer cavidade esférica. Sua magnitude iguala-se à aceleração gravitacional na posição no interior da esfera sólida na qual está centrada a cavidade.

O tempo T₂ da queda e a velocidade de impacto v₂ do segundo homenzinho verde devorador de titânio azarado pode ser calculada através das equações para aceleração uniforme:

e

Assim, as razões exatas que um especialista deveria reportar à INEXAC deveriam ser:

e

A conclusão é que o segundo homenzinho verde levou um pouco mais de tempo para cair do que o primeiro, mas ambos chocaram-se com o centro do asteróide com a mesma velocidade.

Quem mais se esforçou por apresentar uma solução nos comentário foi o Murilo Varela:

Vamos lá!

a)
>>v’²=v’,² + 2g’*S => v’=√2g’*S

>>v”²=v”,² + 2g”*S => v”=√2g”*S

v’/v” = (√2g’*S)/(√2g”*S ) = √g’/√g”

>>g’=(G*m’)/r² | g”=(G*m”)/r²

√g’/√g” = √[(G*m’)/r²]/√[(G*m”)/r²] = √m’/√m”

>>m’=d*V’ | m”=d*V”

√m’/√m” = √(d*V’)/√(d*V”) = √V’/√V”

>>V’=(4/3)*Pi*r²

>>V”=[(4/3)*Pi*r²] – [(4/3)*Pi*(r/2)²]
>>V” = [(4/3)-(4/24)]*pi*r²
>>V” = (7/6)*Pi*r²

√V’/√V” = √[(4/3)*Pi*r²]/√[(7/6)*Pi*r²] = √(4/3)/√(7/6) = √(8/7)

Resposta: √(8/7), que é aproximadamente 1,07.

b)
>>v’=g’*t’ => t’=v’/g’
>>v”=g”*t” => t”=v”/g”

t’/t”=(v’/g’)/(v”/g”) = (v’*g”)/(v”*g’) = (v’/v”)*(g”/g’)

Pela questão anterior achamos que:
g’/g”=m’/m”=V’/V”=8/7 => (g’/g”)^(-1) = (8/7)^(-1) => g”/g’ = 7/8

>>v’/v”= 8/7
>>g”/g’= 7/8

(v’/v”)*(g”/g’) = (8/7)*(7/8) = 1

Resposta: 1

Surpreendentemente, ele acertou a resposta da parte b!

Alguma dúvida? A segunda parte da investigação sobre os Homenzinhos Verdes Devoradores de Titânio sai na segunda.