A seguir, a íntegra da solução do enigma dos Homenzinhos Verdes Devoradores de Titânio, conforme apresentada pela minha fonte. É longa, complicada e me parece no mínimo polêmica. Ei-la:

Considere primeiro o caso do poço de testes. Seu volume é neglivível em comparação com o asteróide. Seja ρ a densidade do astro e R o seu raio. A aceleração gravitacional no raio r é a mesma se e somente se a esfera de raio r abaixo dela estivesse presente:

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Assim, a aceleração gravitacional é diretamente proporcional à distância do centro do asteróide e sempre aponta para ele.

Isso significa que o primeiro homenzinho verde devorador de titânio azarado sofreu sua queda como uma oscilação harmônica de amplitude R e faleceu após executar o primeiro “quarto-período” da oscilação. O coeficiente de r na expressão acima corresponde a ω², i.e., ao quadrado da frequência angular. Portanto, a duração da queda foi de:

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A velocidade com a qual ele colidiu com o fundo do poço pode ser obtida como o produto de sua amplitude e frequência angular:

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No momento em que o segundo acidente ocorreu, os homenzinhos verdes já haviam devorado 1/8 do material do asteróide. O campo gravitacional na cavidade esférica, que se extende da superfície do planetésimo ao seu centro deve ser determinada. Isso pode ser feito através da aplicação do princípio da superposição: imagine que a cavidade seja preenchida com uma mistura de titânio “comum” e titânio exótico, com “densidade negativa”.

Os campos gravitacionais do asteroide completo e da esfera de “titânio negativo” têm que ser somadas. O vetor r aponta para um ponto P arbitrário na cavidade, o vetor c do centro da cavidade para o centro do asteróide e o vetor r+c aponta do centro da cavidade para o ponto P. Veja a figura a seguir:

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As acelerações gravitacionais (do asteróide homogêneo, da cavidade e sua resultante) são proporcionais aos vetores de posição, sendo o coeficiente de proporcionalidade previamente denotado por –ω². A “falta de matéria” na cavidade é representada por uma densidade negativa.

A aceleração resultante é:

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A aceleração gravitacional é um vetor constante, independente da posição de P no interior da cavidade. Isso significa que há um campo gravitacional homogêneo na cavidade, com magnitude –ω²R/2, que equivale à aceleração gravitacional do ponto no meio do poço de teste (ou seja, no centro da cavidade).

Nota: Similarmente, pode-se demonstrar que há um campo homogêneo em qualquer cavidade esférica. Sua magnitude iguala-se à aceleração gravitacional na posição no interior da esfera sólida na qual está centrada a cavidade.

O tempo T2 da queda e a velocidade de impacto v2 do segundo homenzinho verde devorador de titânio azarado pode ser calculada através das equações para aceleração uniforme:

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e

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Assim, as razões exatas que um especialista deveria reportar à INEXAC deveriam ser:

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e

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A conclusão é que o segundo homenzinho verde levou um pouco mais de tempo para cair do que o primeiro, mas ambos chocaram-se com o centro do asteróide com a mesma velocidade.

Quem mais se esforçou por apresentar uma solução nos comentário foi o Murilo Varela:

Vamos lá!

a)
>>v’²=v’,² + 2g’*S => v’=√2g’*S

>>v”²=v”,² + 2g”*S => v”=√2g”*S

v’/v” = (√2g’*S)/(√2g”*S ) = √g’/√g”

>>g’=(G*m’)/r² | g”=(G*m”)/r²

√g’/√g” = √[(G*m’)/r²]/√[(G*m”)/r²] = √m’/√m”

>>m’=d*V’ | m”=d*V”

√m’/√m” = √(d*V’)/√(d*V”) = √V’/√V”

>>V’=(4/3)*Pi*r²

>>V”=[(4/3)*Pi*r²] – [(4/3)*Pi*(r/2)²]
>>V” = [(4/3)-(4/24)]*pi*r²
>>V” = (7/6)*Pi*r²

√V’/√V” = √[(4/3)*Pi*r²]/√[(7/6)*Pi*r²] = √(4/3)/√(7/6) = √(8/7)

Resposta: √(8/7), que é aproximadamente 1,07.

b)
>>v’=g’*t’ => t’=v’/g’
>>v”=g”*t” => t”=v”/g”

t’/t”=(v’/g’)/(v”/g”) = (v’*g”)/(v”*g’) = (v’/v”)*(g”/g’)

Pela questão anterior achamos que:
g’/g”=m’/m”=V’/V”=8/7 => (g’/g”)^(-1) = (8/7)^(-1) => g”/g’ = 7/8

>>v’/v”= 8/7
>>g”/g’= 7/8

(v’/v”)*(g”/g’) = (8/7)*(7/8) = 1

Resposta: 1

Surpreendentemente, ele acertou a resposta da parte b!

Alguma dúvida? A segunda parte da investigação sobre os Homenzinhos Verdes Devoradores de Titânio sai na segunda.


0 comentário

Murilo Varela · 13 de outubro de 2012 às 12:31

Eu, sinceramente, não achei erros nas minhas equações. E, mais sinceramente ainda, não entendi boa parte da resolução. (visto que não sou formado em física, ou no ensino médio, ainda).
Se você puder apontar o meu erro, ficarei feliz. (:

    Renato Pincelli · 13 de outubro de 2012 às 17:46

    Confesso que não posso fazer isso, Murilo. Física é apenas uma paixão, não uma especialidade (eu estudo jornalismo) ):.

    Tampouco entendi direito a resolução dada pelo livro onde encontrei o problema. Por isso, considerei-o complicado demais e hesitei em publicá-lo. Só o fiz atendendo a pedidos.

Murilo Varela · 13 de outubro de 2012 às 22:28

Fiquei encucado com esse enigma. Se puder enviar o título do livro de onde tirou ele, eu agradeço. Pode ser pelo e-mail. (:

victor · 16 de outubro de 2012 às 13:30

Murilo,
na letra B você fala que v’/v” = 8/7 , mas na letra A nao era igual a raiz de 8/7?

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