Você é um especialista em acidentes cósmicos que trabalha para o Instituto Examinador de Acidentes Cósmicos (INEXAC). Através de correspondência confidencial, o INEXAC lhe enviou o seguinte relatório:
Uma espaçonave de homenzinhos verdes devoradores de titânio encontrou um asteróide perfeitamente esférico. Um estreito poço de teste foi escavado do ponto A, na superfície, até o centro O do astreóide. O poço confirmou que o asteróide é inteiramente composto de titânio
homogêniohomogêneo. Em certo ponto, houve um acidente, no qual um dos homenzinhos verdes caiu dentro do poço de teste. Sem qualquer resistência, ele caiu até alcançar o ponto O, onde morreu com o impacto. Mesmo assim, os trabalhos continuaram e os pequenos homenzinhos verdes começaram a escavar o titânio para se alimentar. Escavando a partir do poço inicial, eles formaram uma cavidade esférica de diâmetro AO no interior do asteriode, como ilustrado pela figura.
Depois disso, houve um segundo acidente: outro homenzinho verde também caiu, indo do ponto A ao ponto O, onde morreu.
O que o INEXAC quer saber é o seguinte: quais são (a) a razão das velocidades de impacto e (b) a razão dos tempos da queda de A para O sofridas pelos dois homenzinhos verdes azarados?
Este é muito provavelmente o enigma mais complicado que já publiquei. A resposta dada pela minha fonte estende-se por duas páginas e tem seis equações! Vamos ver se há algum leitor mais sagaz capaz de oferecer uma solução correta, porém sintética. Vocês vão ter mais tempo para pensar (ou penar): a resposta sai na sexta. Não sejam preguiçosos! Podem começar a quebrar a cabeça!
Fiquem atentos a esse enigma. Os Homenzinhos Verdes Devoradores de Titânio são parte de uma trilogia de problemas. Os próximos dois enigmas serão continuação deste.
rafinha.bianchin
Hoje não... Cálculo amanhã, geometria analítica e física quinta...
Renato Pincelli
tem até sexta pra responder, rafinha!
rafinha.bianchin
pois é, não é por causa de umas derivadas, uns limites, umas equações paramétricas e simétricas que eu não vou me divertir, não é mesmo?
Zr
Existe um erro no texto: homogênio (o certo é homogêneo)
Renato Pincelli
ops, falha nossa!
rafinha.bianchin
só pra deixar claro: as diferenças entre os tempos e velocidades de quedas dos homenzinhos se deve ao fato de que a massa diminuiu, certo?
Murilo Varela
Vamos lá!
a) v'²=v',² + 2g'*S | v''²=v'',² + 2g''*S
v'=√2g'*S | v''=√2g''*S
v'/v'' = (√2g'*S)/(√2g''*S ) = √g'/√g''
>>g'=(G*m')/r² | g''=(G*m'')/r²
√g'/√g'' = √[(G*m')/r²]/√[(G*m'')/r²] = √m'/√m''
>>m'=d*V' | m''=d*V''
√m'/√m'' = √(d*V')/√(d*V'') = √V'/√V''
>>V'=(4/3)*Pi*r² | V''=[(4/3)*Pi*r²] - [(4/3)*Pi*(r/2)²]
[(4/3)-(4/24)]*pi*r²
(7/6)*Pi*r²
√V'/√V'' = √[(4/3)*Pi*r²]/√[(7/6)*Pi*r²] = √(4/3)/√(7/6) = √(8/7)
Resposta: √(8/7), que é aproximadamente 1,07.
Murilo Varela
Vamos lá!
a)
>>v’²=v’,² + 2g’*S => v’=√2g’*S
>>v”²=v”,² + 2g”*S => v”=√2g”*S
v’/v” = (√2g’*S)/(√2g”*S ) = √g’/√g”
>>g’=(G*m’)/r² | g”=(G*m”)/r²
√g’/√g” = √[(G*m')/r²]/√[(G*m'')/r²] = √m’/√m”
>>m’=d*V’ | m”=d*V”
√m’/√m” = √(d*V’)/√(d*V”) = √V’/√V”
>>V’=(4/3)*Pi*r²
>>V”=[(4/3)*Pi*r²] – [(4/3)*Pi*(r/2)²]
>>V'' = [(4/3)-(4/24)]*pi*r²
>>V'' = (7/6)*Pi*r²
√V’/√V” = √[(4/3)*Pi*r²]/√[(7/6)*Pi*r²] = √(4/3)/√(7/6) = √(8/7)
Resposta: √(8/7), que é aproximadamente 1,07.
b)
>>v'=g'*t' => t'=v'/g'
>>v''=g''*t'' => t''=v''/g''
t'/t''=(v'/g')/(v''/g'') = (v'*g'')/(v''*g') = (v'/v'')*(g''/g')
Pela questão anterior achamos que:
g'/g''=m'/m''=V'/V''=8/7 => (g'/g'')^(-1) = (8/7)^(-1) => g''/g' = 7/8
>>v'/v''= 8/7
>>g''/g'= 7/8
(v'/v'')*(g''/g') = (8/7)*(7/8) = 1
Resposta: 1
Homenzinhos Verdes Devoradores de Titânio | hypercubic
[...] seguir, a íntegra da solução do enigma dos Homenzinhos Verdes Devoradores de Titânio, conforme apresentada pela minha fonte. É longa, complicada e me parece no mínimo polêmica. [...]
[Enigma] Mais Homenzinhos Verdes Devoradores de Titânio | hypercubic
[...] dos dois acidentes explicados (ou não…) pelo enigma anterior, os homenzinhos verdes devoradores de titânio continuaram sua escavação. Como resultado de sua [...]
Igor Santos
Eles estão jogando o refugo da escavação onde?
Renato Pincelli
Boa pergunta, Igor. Mas considere seres que, além de serem capazes de devorar titânio, ainda absorvem integralmente seu alimento, deixando resíduos desprezíveis.
Igor Santos
Mas em absorvendo, eles permanecem no asteróide com toda a massa absorvida?
rafinha.bianchin
ah-ha!
então o peso deles aumentaria considerávelmente, e o peso do et caído no buraco mudaria toda a questão!
Igor: nada é irrelevante até prova do contrário. Quando é para questionar algo, sempre deve-se ser aberto a sugestões. foi tudo o que eu aprendi no ensino médio (o resto foi absorvido, como diz o pessoal da facul, por osmose).