O número Pi em Enen Shouboutai

No final do capítulo 118 do mangá Enen Shouboutai, os personagens encontram nas ruínas de uma “antiga civilização”, uma sequência numérica bastante longa e aparentemente que não segue nenhum padrão. Se assemelhando até mesmo a uma sequência aleatória.

Na ocasião, um dos personagens (Arthur Boyle) “percebeu” que pedaços daquela sequência finita, correspondiam a sequências finitas presentes dentro do número Pi.

Imagem do respectivo capítulo, disponível em https://www.brmangas.com/

De fato você pode conferir que o número “54.625.261.181” aparece nas casas decimais de Pi pela primeira vez na 616.071 casa decimal.

…0592688 54625261181 1506554…

Caso queira procurar números na sequência decimal de Pi, o site Atractor possibilita essa busca em uma quantidade considerável de casas.

Contudo o ponto mais interessante dessa discussão é, qualquer sequência finita aparece em qualquer número irracional?

A resposta é não!

O número de Liouville é um exemplo de irracional do qual podemos mostrar facilmente que existem sequências finitas que não aparecem em suas casas decimais. Esse número é formado pela série 1/10^(n!) onde n é um Natural. Para você entender melhor como é a aparência desse número, colocarei aqui seus primeiros 25 dígitos:

0,1 + 0,01 + 0,000001 + 0,000000000000000000000001 = 0,1100010000000000000000010…

Agora você pode estar pensando, existe algum número irracional no qual qualquer sequência finita aparece?

A resposta é sim!

O número de Champernowne é um exemplo de irracional do qual podemos mostrar facilmente que qualquer sequência finita aparecerá em suas casas decimais. Esse número é formado pela sequência dos números Naturais em sua representação concatenada. Para você entender melhor como é a aparência desse número, colocarei aqui seus primeiros 54 dígitos:

0,12345678910111213141516171819202122232425262728293031…

Assim, um número como aquele que Arthur Boyle identificou como pertencente a sequencia decimal de Pi, certamente também pertence a sequência decimal do número de Champernowne. Basta seguirmos a construção de seus termos até chegarmos no 54.625.261.181 número Natural.

De todo modo, você ainda pode estar se perguntando, qualquer sequência finita aparece nas casas decimais de Pi?

A resposta é ninguém sabe

Só para nos recordarmos, Pi é um número irracional que expressa a razão entre o comprimento de um círculo pelo seu diâmetro. Um método bastante rudimentar de aproximar o valor de Pi (e que foi mostrado no post Os irmãos esquecidos de π) é construindo polígonos regulares com um grande número de lados, e então dividindo o perímetro deles pela sua diagonal principal. Quando o número de lados tender a infinito, essa razão tenderá a Pi.

Assim, as casas decimais de Pi que muitos memorizam (3,141592…) não são obtidas de uma forma arbitrária.

Mas uma propriedade dos números irracionais bastante investigada na Matemática é a distribuição de seus dígitos, no caso, se seus dígitos são distribuídos de maneira aleatória dentro de alguma base numérica (como por exemplo, se lançassemos um dado de 10 faces para decidir entre 0 e 9 qual será o próximo valor da sequência decimal), o número irracional é chamado de Normal. Assim, um número Normal certamente terá qualquer sequência finita definida, dado que a probabilidade dela aparecer nunca será nula e a extensão decimal do número irracional é infinita.

Mas respondendo a pergunta em si, ninguém ainda conseguiu provar que Pi é um número Normal. Pois embora construir números irracionais Normais seja relativamente simples, identificar se um número irracional qualquer é Normal, não é uma tarefa trivial. Ou seja, embora várias frentes acreditem que Pi seja Normal, dizer que qualquer sequência finita seguramente aparecerá em suas casas decimais é até agora uma conjectura.

Créditos da imagem de capa a Andrew Martin por Pixabay

2 thoughts on “O número Pi em Enen Shouboutai

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