O verdadeiro valor da Mega Sena
Quando a Mega Sena acumula, o número de apostas sobe. Isso faz sentido: basicamente, mais pessoas passam a acreditar que a relação custo/benefício (no caso, o preço da aposta vesus o prêmio potencial) torna-se aceitável.
Intuições pessoais a parte, é possível calcular, com precisão matemática, o momento em que apostar na Mega Sena passa a ser um “bom negócio”: isso ocorre quando o prêmio em jogo, multiplicado pela probabilidade de ganhar, supera o custo da aposta.
Na Mega Sena do último sábado, por exemplo, o prêmio acumulado era de R$ 52 milhões; o custo da aposta, R$ 1,25; a probabilidade de se fazer a sena, cerca de 1/50 milhões. Fazendo as contas, o preço justo de uma aposta seria R$ 1,03. Quem apostou pagou R$ 0,22 a mais do que a oportunidade valia.
Mais do que valia a oportunidade de se ganhar sozinho, aliás: e não há garantias de que isso venha a acontecer. O prêmio de sábado, por exemplo, foi dividido entre dois apostadores.
Existe, claro, achance de se fazer uma quadra ou uma quina, então talvez valesse a pena levar em conta esse dado ao calcular o preço justo da aposta. A quina do último sábado pagou R$ 18 mil, para uma probabilidade de 1/154 mil; a quadra, R$ 251, para uma probalididade de 1/2 mil. A sena, como foi dividida em dois apostadores, ficou em R$ 26 milhões.
Passando os números pelo moedor, o valor real de um bilhete da Mega Sena acumulada que correu no sábado é de (1/50 milhões)x(R$ 26 milhões)+(1/154 mil)x(R$ 18 mil)+(1/2 mil)x(R$ 251). Isso dá R$ 0,75, para um bilhete com seis dezenas do concurso 990 (se tentarem lhe vender um, não pague mais do que isso).
O prêmio justo que um apostador racional deveria esperar acumular antes de comprar um bilhete da Mega Sena – supondo que se vá ganhar a bolada sozinho – teria de ser da ordem de R$ 90 milhões.
Discussão - 4 comentários
Cuidado, você está tomando "valor esperado de ganho positivo" como um bom motivo para se entrar num dado jogo.(o valor esperado ou esperança de ganho num certo jogo é a média dos possíveis ganhos/perdas ponderados pelas respectivas probabilidades).Se você vai jogar um mesmo jogo um número muito grande de vezes, então a lei dos grandes números te diz que a média aritmética dos ganhos (soma dos ganhos dividido pelo número de vezes que você jogou) se aproxima muito do valor esperado de ganho, de modo que faz sentido tomar suas decisões baseando-se apenas no valor esperado (cuidado, no entanto, com o fato que o significado de "número muito grande de vezes" na lei dos grandes números varia de uma situação para outra, de acordo com o desvio padrão do ganho; no caso da mega-sena, acho que o "número muito grande de vezes", seria da ordem de dezenas de milhões).Aqui vai um exemplo simples de um jogo com valor esperado de ganho positivo em que não faz muito sentido entrar (para se jogar uma vez):imagine um jogo em que você tem probabilidade 1/100 de ganhar 200 milhões de dólares e probabilidade 99/100 de perder 1 milhão de dólares...o valor esperado de ganho é (200 milhões)/100 - (1 milhão)*(99/100), isto é, cerca de 1 milhão de dólares.No entanto, a menos que você seja milionário, com probabilidade 99/100 (muito alta!), você se ferrou muito feio... está endividado e morando na rua.
O problema é que a Matemática e a teoria de probabilidades não nos dão nenhum método "sharp" para decidir se vale a pena entrar ou não num jogo, ou se um dado jogo é melhor do que outro...uma área que tenta nos ajudar a tomar decisões desse tipo é a chamada utility theory. Seguindo as idéias da utility theory, devemos escolher os jogos que maximizam o valor esperado da utility function (que em geral não coincide com o valor esperado do ganho expresso numa certa unidade monetária!). O problema é encontrar uma expressão razoável para a utility function... e não há um jeito objetivo e limpo de se fazer isso (aliás, a utility function de um indivíduo depende do indivíduo).
Oi, Daniel! Vc está certo, o mais correto teria sido calcular com base na "utilidade". Um dos Bernoullis, se não me engano, chegou a sugerir uma expressão para derivar a utilidade de uma aposta com base nos logs do custo, prêmio e patrimônio pré-existente do jogador.Existem outras situações onde o cálculo do ganho esperado não é um bom jeito de avaliar o valor de um jogo -- um caso clássico é o do paradoxo de São Pestesburgo (http://plato.stanford.edu/entries/paradox-stpetersburg/).
"São Pesteburgo" é feio... Petersburgo, por favor! Completando: embora o cálculo de valor esperado não seja um algoritmo perfeito para determinar o preço justo de um investimento (ou aposta) ainda assim é uma heurística bem útil, dentro de seus limites de aplicação. Em seu livro "Drunkard's Walk", Leonard Mlodinow conta como esse cálculo levou um grupo de invcestidores a decidir comprar quantidades absurdas de bilhetes de uma loteria canadense... É um relato anedótico interessante.