Ainda a Mega-Sena…

Uma coisa divertida a respeito da internet são as ferramentas que a gente acha por aí. Por exemplo, depois de baixar toda a série histórica da Mega-Sena para o meu computador (a Caixa oferece um formato HTML, não Excel, vá lá saber por quê), fiquei pensando, bolas, como tratar esses dados?
Bom, eis que descobrir este fant√°stico Descriptive Statistics Calculator, e resolvi aplic√°-lo a dois conjuntos de dados da loteria: n√ļmero de ganhadores por concurso e pr√™mio pago, tamb√©m por concurso. Tive de cortar parte dos dados (o calculador s√≥ aceita at√© 1024 entradas, e a Mega j√° tem mais de 1100 jogos), mas fiz isso eliminando alguns valores aleatoriamente.
O que obtive?
Bom: o n√ļmero m√©dio de ganhadores por concurso √© de 0,29, o que indica um grande n√ļmero de sorteios sem ganhador (os “acumulados”). Na verdade, esse resultado mostra que a sena, historicamente, vem sendo ganha uma vez a cada tr√™s ou quatro sorteios, em m√©dia.
Quanto aos pr√™mios, o pr√™mio m√©dio da sena √© de R$ 2 milh√Ķes. Essa m√©dia √© alta assim mesmo levando-se em conta que dois de cada tr√™s concursos n√£o pagam nada — um prov√°vel efeito do fato de o pr√™mio acumulado ser transmitido para o concurso seguinte.
A chance de algu√©m acertar a sena jogando seis n√ļmeros continua a ser, claro, menos de uma em 50 milh√Ķes. A planilha da Caixa n√£o diz quantos apostadores h√° em cada concurso, infelizmente, mas o fato de serem necess√°rios de tr√™s a quatro concursos para a sena sair sugere que haja algo como 15 milh√Ķes de jogadores da Mega-Sena, ou 8% da popula√ß√£o brasileira.
Claro, esse n√ļmero ignora os jogos com mais de 6 dezenas, os bol√Ķes, etc, mas imagino que ele n√£o esteja muito longe da realidade e tenhamos de 4% a 12% dos brasileiros fazendo sua fezinha, dependendo da √©poca e do pr√™mio oferecido.
(Adendo: esta nota da Folha Online de 2007 sugere que o movimento m√©dio da Mega-Sena envolve 7 milh√Ķes de apostas, ou algo perto de 4% da popula√ß√£o brasileira atual — de novo, ignorando-se os bol√Ķes).

Paradoxo de sexta (41)

Bom, o da semana passada – que chamei de Paradoxo dos Povos Primitivos – representa, como foi notado nos coment√°rios, um falso dilema, ao menos na esfera l√≥gico-te√≥rica: na intera√ß√£o entre duas culturas, deve haver outra op√ß√£o que n√£o a assimila√ß√£o ou o isolamento. √Č conceb√≠vel, por exemplo, uma coevolu√ß√£o, na qual ambas se influenciam e estimulam, mas sem que cada uma perca efetivamente seu “sabor” caracter√≠stico.
Mas confesso que continuo na d√ļvida quanto √† aplicabilidade pr√°tica da coevolu√ß√£o quando o desn√≠vel tecnol√≥gico e/ou populacional entre as culturas √© muito grande, e mesmo quando o contato √© cheio de boas inten√ß√Ķes. Digo, as grandes culturas do Oriente – √ćndia, China, Jap√£o – certamente existem em coevolu√ß√£o com a Ocidental, mas como seria poss√≠vel coevoluir com uma cultura neol√≠tica, hoje, sem esmag√°-la, ainda que s√≥ por acidente? E, se a coevolu√ß√£o √© imposs√≠vel, por motivos pr√°ticos, o paradoxo se reinstala.
Quanto ao hipot√©tico contato alien√≠gena – com a humanidade na ponta “primitiva” da equa√ß√£o -, se a op√ß√£o fosse entre assimila√ß√£o ou isolamento, eu sou totalmente pela assimila√ß√£o (que nenhum Borg ou√ßa isso…)
Mas hoje é dia de coisa nova. Vamos ao Paradoxo de Braess.
Este paradoxo tem um enunciado enganadoramente simples: ele diz que h√° situa√ß√Ķes em que reduzir as rotas dispon√≠veis numa rede – onde “rotas” podem ser, por exemplo, ruas numa rede rodovi√°ria, ou jogadores num time de basquete ou de futebol (onde os atletas s√£o abstra√≠dos como as rotas por onde a bola passa) – pode de fato melhorar o tr√°fego (ou, no caso esportivo, aumentar o n√ļmero de gols).
Em termos pr√°ticos, isso significa que um time com 10 pode jogar melhor que com 11; que a interdi√ß√£o de uma rua em meio a um congestionamento pode fazer o tr√Ęnsito fluir melhor. E n√£o se trata de papo furado: em 1990, o fechamento da Rua 42 em Nova York fez o tr√Ęnsito melhorar tanto, mas tanto, que a coisa at√© rendeu reportagem do New York Times.
Como é possível?

Método infalível para nunca perder na Mega-Sena

Folheando outro dia uma dessas revistas femininas de R$ 1,99, encontrei um cat√°logo de livros de venda pelo correio que, em meio a ofertas vibrantes e de alto valor sociol√≥gico-cultural, como Fa√ßa a Sua Macumbinha, Amarre o Amor com os Orix√°s e O Grande Livro Negro Capa de A√ßo de S√£o Cipriano (ali√°s, aqui cabe um mea culpa: vivo tirando sarro de pregadores evang√©licos, dizendo que Senhor Jesus cura c√Ęncer e d√° casa pr√≥pria, mas n√£o ensina portugu√™s; pois √©, n√£o √© s√≥ o Cordeiro que se det√©m na barreira da gram√°tica; o Orix√° tamb√©m), havia o Manual da Mega Sena e as Apostilas da Lotomania.
Pelo que deu pra entender da descri√ß√£o dos livros que aparece no cat√°logo (n√£o, n√£o comprei nenhum: isso, s√≥ com verba da Fapesp), eles trazem an√°lises e tabelas de frequ√™ncia de n√ļmeros sorteados, e tiram algumas conclus√Ķes esot√©ricas do fato. Mas, quais conclus√Ķes poderiam ser essas?
Bom, digamos que determinadas dezenas apareçam com mais frequência do que outras na série histórica de Mega-Sena (que acumula mais de 1.000 sorteios já realizados). E daí?
Isso pode dar margem a duas interpreta√ß√Ķes: (a) os n√ļmeros “repetidos demais” s√£o uma aberra√ß√£o probabil√≠stica, e portanto em breve devem parar de ser sorteados (para manter a m√©dia), logo n√£o se deve jogar neles; ou (b) as bolinhas usadas no sorteio n√£o s√£o todas exatamente iguais — algumas talvez sejam uns poucos miligramas mais pesadas que as outras — e esse efeito aparece na repeti√ß√£o dos n√ļmeros, logo deve-se jogar neles.
(Adendo: como o Jo√£o Carlos notou nos coment√°rios, as bolas realmente usadas na Mega-Sena s√£o trocadas a cada cinco concursos, o que, em tese, evitaria qualquer esp√©cie de favorecimento consistente a uma dezena espec√≠fica ao longo de uma s√©rie comprida de sorteios. Mas a troca n√£o garante, apenas torna improv√°vel um vi√©s nos resultados finais de longo prazo. E at√© a√≠, a Mega-Sena em si j√° √© um neg√≥cio improv√°vel pra burro, mesmo…)

Agora, quando o mesmo dado — uma flutua√ß√£o na frequ√™ncia esperada das dezenas — sugere dois cursos de a√ß√£o mutuamente excludentes, √© √≥bvio que alguma coisa est√° errada. O melhor a fazer √© observar um n√ļmero suficientemente grande de sorteios e ver qual o fen√īmeno que se confirma — digamos, sequ√™ncias de sorteios onde determinadas dezenas aparecem muito, seguidas por sequ√™ncias onde n√£o aparecem, o que sugeriria flutua√ß√£o estat√≠stica com regress√£o para a m√©dia; ou o surgimento, consistente, de dezenas que aparecem quase sempre.
(Apostar contando com a regressão para a média é um método conhecido como Martingale, e tem a contraindicação de que, geralmente, o apostador vai à bancarrota antes que a regressão ocorra)
Afinal, qual a probabilidade de uma dezena qualquer, das 60 presentes no cart√£o, estar entre as seis sorteadas?
Curiosamente, ela √© at√© alta: 30%. Isso quer dizer que, a cada tr√™s ou quatro apostas que voc√™ fizer, na m√©dia em pelo menos uma delas voc√™ deve acertar pelo menos uma dezena. √Č por isso que o governo n√£o paga nada para quem acerta um n√ļmero s√≥. √Č f√°cil demais.
Sabendo que a Mega-Sena j√° realizou mais de mil sorteios, qual a chance de um n√ļmero j√° ter sido sorteado? Isso √© 1 menos chance de ele nunca ter sido sorteado, que √© 0,7 elevado √† mil√©sima pot√™ncia. Minha calculadora simplesmente se recusa a fazer a conta: pra ela, a subtra√ß√£o d√° exatamete 1, ou 100%.
Ou seja, se houver alguma dezena que ainda n√£o saiu, a bolinha dela provavelmente est√° cheia de h√©lio e fica flutuando em dire√ß√£o ao alto da gaiola. Evite jogar nesse n√ļmero.
E quanto a repeti√ß√Ķes? Um conceito muito usado por cientistas √© o da signific√Ęncia estat√≠stica: basicamente, quando os resultados de um experimento t√™m uma probabilidade menor de 5% de terem acontecido por acaso, aceita-se que, em princ√≠pio, pode haver um efeito real ali. Muita gente defende que essa marca da signific√Ęncia baixe para 1%, mas ficando nos 5%: quantas vezes uma dezena teria de ter sa√≠do, ao longo de mil concursos, para podermos concluir que ela realmente √© favorecida?
Bom, cada dezena tem uma chance de cerca de 50% de ter aparecido mais que 300 vezes, mas apenas 5% (4,5%, na verdade) de ter aparecido 325 vezes ou mais. Ent√£o, a√≠ est√°: se voc√™ achar um n√ļmero da Mega-Sena que saiu mais de 325 vezes em mil concursos, isso √© cientificamente significativo: h√° uma chance de que ele seja favorecido por alguma peculiaridade f√≠sica da bolinha onde est√° estampado.
(Para confirmar isso √© preciso reproduzir o experimento, o que envolveria esperar mais mil concursos e ver se a tend√™ncia se mant√©m. Para quem n√£o est√° com pressa…)
Claro, isso ajuda a escolher uma dezena; ficam faltando cinco. Al√©m do qu√™, continua em aberto a quest√£o de quando o n√ļmero favorecido vai mesmo sair: se a chance dele aparecer for de, digamos, 32%, sobre os 30% dos demais, pode ser necess√°ria uma longa sequ√™ncia de apostas para que se possa tirar proveito do fato.
Então, qual o método infalível para nunca perder na Mega-Sena? Não jogar.

Homeopatia faz mal para a √Āfrica

Respondendo a um apelo de m√©dicos africanos assustados com o aumento da oferta de tratamentos homeop√°ticos para doen√ßas que assombram o continente – como mal√°ria, tuberculose, diarreia e aids – a OMS finalmente saiu de seu coma politicamente correto e emitiu comunicados condenando o uso da t√©cnica “alternativa” para o tratamento dessas doen√ßas.
Há um longo texto a respeito no site da BBC, do qual ofereço estes excertos:
Dr Mario Raviglione, director of the Stop TB department at the WHO, said: “Our evidence-based WHO TB treatment/management guidelines, as well as the International Standards of Tuberculosis Care do not recommend use of homeopathy.”
Dr. Mario Raviglione, diretor do departamento Pare a Tuberculose da OMS, disse: nossas recomedda√ß√Ķes de tratamento e controle baseados em evid√™ncias da tuberculose, bem como os Padr√Ķes Internacionais de Tratamento da Tuberculose, n√£o recomendam o uso da homeopatia.
Outro:
“Homeopathy does not focus on the treatment and prevention of dehydration – in total contradiction with the scientific basis and our recommendations for the management of diarrhoea.”
Homeopatia n√£o focaliza no trtamento e preven√ß√£o da desidrata√ß√£o – em total contradi√ß√£o com a base cient√≠fica e nossas recomenda√ß√Ķes para o controle da diarreia.
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Resta saber o que o pr√≠ncipe Charles vai achar dessas chocantes revela√ß√Ķes…

Paradoxo de sexta (40)

Quanto ao da semana passada: como foi desvendado logo no primeiro coment√°rio, a solu√ß√£o depende, apenas, de uma aplica√ß√£o direta da f√≥rmula pra calcular a probabilidade de se obter “k” sucessos em “n” tentativas, onde cada tentativa individual tem uma probabilidade “p”, previamente conhecida.
E a resposta é, mesmo, 8%.
Claro, o fato desse resultado ser matematicamente correto n√£o o torna, √† primeira vista, menos contraintuitivo. Afinal, a probabilidade de uma moeda qualquer cair cara √© 50%, logo em 100 moedas, 50 deveriam… O que h√° de errado nesse racioc√≠nio?
Imagine que você jogue quatro moedas para o alto, e não 100, e queria saber qual a chance de exatamente duas caírem cara. Bom, chamando cAra de A e cOroa de O temos:
AAAA
AAAO
AAOO *
AOOO
OOOO
OOOA
OOAA *
OAAA
OAAO *
OAOA *
AOOA *
AOAO *
AOAA
AAOA
OOAO
OAOO
Perceba que s√£o 6 combina√ß√Ķes em 16 resultados poss√≠veis, o que √© bem menos que a metade: cerca de 37%. E este √© o ponto: conforme aumenta o n√ļmero de tentativas, o n√ļmero de diferentes resultados poss√≠veis tamb√©m cresce. Quando se chega a 100, o n√ļmero de formas de n√£o se obter metade das moedas viradas para um lado e a outra metade virada par o outro √© simplesmente gigantesco.
No entanto, a probabilidade de se obter 50 caras em 100 lançamentos ainda é a maior probabilidade individual nessa situação. A probabilidade de se obter algo fora da faixa de 40 a 60 é virtualmente zero.
Para esta semana, eu estava pensando em mergulhar nos meus alfarrábios e incunábulos em busca de um problema de probabilidade bem cabeludo, mas aí deparei-me com a campanha Hello from Earth, que está coletando mensagens para serem transmitidas ao espaço a partir de um radiotelescópio australiano. A transmissão terá potência suficiente para chamar a atenção de qualquer Projeto SETI que esteja em operação na direção do feixe, ao longo de vários milhares de anos-luz.
Isso me fez lembrar de que muita gente, incluindo pesos-pesados como Jared Diamond, acha est√ļpida a ideia de tentar comunica√ß√£o com outras esp√©cies inteligentes — n√£o porque a probabilidade de sucesso √© baixa, mas porque n√£o √© zero.
A história da Terra nos ensina, afinal, que sempre que duas culturas entram em contato, a que for tecnologicamente menos sofisticada acaba esmagada ou escravizada pela pela que for mais.
Da√≠, o que chamo de Paradoxo dos Povos Primitivos (sei que soa politicamente incorreto, mas n√£o resisti a usar tr√™s “P”s). Trata-se de dois argumentos aparentemente convincentes, mas que levam a conclus√Ķes opostas.
Argumento 1: Toda cultura existente s√≥ existe porque √© capaz de dar a seus membros os meios para sobreviver no ambiente em que vivem e emprestar significado a suas vidas (se n√£o fosse assim, darwinianamente, essas culturas j√° se teriam extinguido). Al√©m disso, toda cultura √© como uma obra de arte, um produto √ļnico da criatividade humana. Logo, o contato da nossa civiliza√ß√£o tecnol√≥gica com povos materialmente menos sofisticados deve ser evitado, para que as culturas sejam preservadas. Afinal, o que nossa civiliza√ß√£o faz por n√≥s √© exatamente o que a cultura deles faz por eles: fornecer meios de sobreviv√™ncia e sentido. Nenhuma √© melhor que a outra. Qualquer interfer√™ncia seria, al√©m de indevida, arrogante.
Argumento 2. O argumento 1 reduz seres humanos a animais num zool√≥gico. Devemos ficar de fora, observando enquanto xam√£s cometem sacrif√≠cios humanos para fazer chover e crian√ßas morrem de doen√ßas que poderiam ser evitadas se suas m√£es lavassem as m√£os com sab√£o? Temos o direito de condenar uma popula√ß√£o inteira ao analfabetismo, priv√°-la da soma total das conquistas do restante da humanidade — m√ļsica, ci√™ncia, literatura, cinema? Da possibilidade de empresta novos sentidos a suas vidas — da oportunidade de serem m√©dicos, engenheiros, escritores, monges budistas, padres? Ao n√£o interferir, n√£o estamos sendo arrogantes, preservando-os para nosso pr√≥prio deleite e privando-os da liberdade de escolha?
Apresentados os argumentos, deixo quest√£o final: supondo que uma civiliza√ß√£o mais avan√ßada que a nossa detecte o sinal “Hello from Earth” — voc√™ preferiria que eles se alinhassem com o argumento 1 ou com o 2?

Um Vietn√£ por ano? Mesmo?

Acho que n√£o h√° crist√£o (ou judeu, budista, ateu, mu√ßulmano, pag√£o…) no Brasil que j√° n√£o tenha sido golpeado na cabe√ßa com a afirma√ß√£o de que o tr√Ęnsito em nosso pa√≠s “mata a cada ano tanto quanto a guerra do Vietn√£ em toda a sua dura√ß√£o”. N√£o √© que eu seja contra campanhas para tornar os motoristas e pedestres mais atentos e conscientes, mas uma boa causa n√£o merece um mau argumento. E esse papo do Vietn√£ √© um dos piores.
Sem entrar no m√©rito de que o argumento √© de p√©ssimo gosto, pois ignora solenemente os vietnamitas mortos (na casa dos milh√Ķes), concentrando-se apenas no n√ļmero de americanos (cerca de 60 mil, entre mortos e desaparecidos em combate), destaco que a compara√ß√£o traz, logo de in√≠cio, uma marca caracter√≠stica da manipula√ß√£o incorreta – √†s vezes, inescrupulosa – de dados: a compara√ß√£o entre n√ļmeros absolutos que n√£o oferece um dado proporcional que permita coloc√°-los em contexto.
Para ficar num exemplo boc√≥: a Litu√Ęnia teve 370 homic√≠dios em 2000. Os EUA, 16 mil. Os EUA s√£o mais violentos? Bom, a taxa de homic√≠dio por 100 mil habitantes da Litu√Ęnia ficou em 10,22 e a dos EUA, em 5,53. Ao omitir as popula√ß√Ķes envolvidas e citar apenas o n√ļmero bruto, corre-se o risco de causar uma impress√£o errada de risco.
Bom, pondo os dados do Vietn√£ em perspectiva: houve 60 mil militares americanos mortos/desaparecidos no Sudeste Asi√°tico durante o conflito, de um total de 3,4 milh√Ķes envolvidos. Isso d√° uma taxa de mortalidade de 1,74%.
E os dados do tr√Ęnsito? Usando n√ļmeros de 2002 – o ano para o qual encontrei o relat√≥rio mais completo online – temos 54 mil casos de morte ou invalidez permanente causados por acidentes de tr√Ęnsito, segundo o DPVAT. Ent√£o: 60 mil no Vietn√£, 54 mil nas ruas e estradas. Parecido, n√£o?
De jeito nenhum. A frota brasileira de ve√≠culos automotores, em 2002, era de 34 milh√Ķes de ve√≠culos, dez vezes mais que o total de americanos envolvidos no conflito do Sudeste Asi√°tico. Mesmo supondo que cada ve√≠culo s√≥ transporte uma pessoa, em m√©dia, a taxa cai de 1,74% para 0,174%.
Mas, ei, at√© motocicletas andam com carona por a√≠. E boa parte da frota √© composta de √īnibus. Supondo uma m√©dia de 6 ocupantes por ve√≠culo (indo desde motos sem garupa at√© √īnibus lotados com 40 passageiros, e sem levar em conta a multid√£o de pedestres), o n√ļmero cai a 0,029%.
Reprisando: o risco de voc√™ morrer no tr√Ęnsito no Brasil, ao longo de um ano, √© pelo menos no m√°ximo 1/60 do que seria se voc√™ fosse mandado para a guerra do Vietn√£.
Ent√£o, podemos relaxar? Nananina.
Nos EUA, que t√™m uma popula√ß√£o significativamente maior que a nossa, o total absoluto de mortes no tr√Ęnsito √© praticamente igual ao brasileiro – o que √© evid√™ncia clara de que h√° coisas que poder√≠amos estar fazendo melhor. Mas assustar as pessoas com compara√ß√Ķes sem sentido n√£o √©, obviamente, uma delas.

Marina, f√©, ci√™ncia ou: uma coisa √© uma coisa, outra coisa √©…

O Estad√£o desta segunda-feira traz uma p√°gina sobre a senadora (e poss√≠vel candidata √† Presid√™ncia) Marina Silva, que cita algumas quest√Ķes pol√™micas que envolveram a l√≠der acreana, incluindo sua defesa do ensino do criacionsimo.
Ali, aparece a seguinte frase, atribu√≠da √† senadora: “No espa√ßo da f√©, a ci√™ncia tem todo o acolhimento. Eu gostaria que a f√© tivesse o mesmo acolhimento da ci√™ncia”. Em que pese o sentido impreciso da express√£o “todo o acolhimento”, o que eu queria discutir aqui √© o pressuposto, embutido na frase, de que existe algum tipo de equival√™ncia entre os dois campos, de que o “acolhimento” seria uma quest√£o de boas maneiras (tipo, “Senador Fernando sempre d√° bom-dia ao senador Pedro. Eu gostaria que o senador Pedro tivesse o mesmo comportamento com o senador Fernando”.)
√Č importante deixar claro que essa suposta equival√™ncia n√£o existe. O que est√° em jogo n√£o √©, de modo algum, uma quest√£o de boas maneiras ou de diplomacia entre iguais. Resumindo o que poderia ser uma loooonga perora√ß√£o cheia de ressalvas, circunvolu√ß√Ķes e considera√ß√Ķes filos√≥ficas, o saldo √©: ci√™ncia √© intersubjetiva e universal; f√© √© subjetiva e paroquial.
N√£o importa a quem o templo √© dedicado (Zeus, Odin, Esp√≠rito Santo, qualquer um dos muito santos ou das v√°rias vers√Ķes de Maria, Jesus ou de seus m√ļsculos card√≠acos), se n√£o for constru√≠do de acordo com o que ensinam a f√≠sica e a resist√™ncia dos materiais, ele cai. Simples assim. A consagra√ß√£o do templo √© uma quest√£o do foro √≠ntimo, do temperamento e da hist√≥ria espec√≠ficas da comunidade que o erigiu. J√° as leis da gravidade e da est√°tica que o mant√™m (ou n√£o) em p√© s√£o iguais em todo o Universo conhecido e francamente, minha querida, n√£o d√£o a m√≠nima para foro √≠ntimo, temperamento ou hist√≥ria de quem quer que seja.
O √ļnico meio pelo qual a ci√™ncia √© capaz de “acolher” a f√© √© como objeto de estudo, mas, quando o resultado n√£o agrada, como no caso do estudo STEP (que indicou que ora√ß√Ķes prejudicam a sa√ļde de pacientes card√≠acos) o que se v√™ √© choro e ranger de dentes. Nenhum “acolhimento”. J√° se o resultado tivesse sido positivo, o resultado s√£o p√°ginas e p√°ginas de louvores na internet.
Isto se chama (entre outras coisas) viés de confirmação, a tendência humana de destacar dados que confirmam nossas crenças e fazer pouco caso dos que as ameaçam. Em ciência, é uma falha grave, que volta e meia reaparece, mas nunca deixa de ser combatida; em religião, é apenas o que se espera.

Asteroides e estrelas

S√≥ comentando rapidamente duas not√≠cias importantes da semana passada: uma, o manifesto da Uni√£o Astron√īmica Internacional contra a polui√ß√£o luminosa – fen√īmeno que consegue ser ao mesmo tempo um problema econ√īmico, est√©tico, sanit√°rio e ambiental. Representa desperd√≠cio de recursos, enfeia a paisagem e amea√ßa o ciclo de vida dos animais noturnos (e do homem).
Outra, a conclus√£o de que a Nasa n√£o tem condi√ß√Ķes de cumprir o mandado definido pelo Congresso americano, de caracterizar pelo menos 90% dos asteroides potencialmente perigosos.
O interessante √© que s√£o dois problemas s√©rios que recebem muito pouca aten√ß√£o. E nem digo a opini√£o p√ļblica – que, afinal, j√° est√° sobrecarregada com desemprego, seguran√ßa e outras mazelas do dia-a-dia – mas tamb√©m dos agentes pol√≠ticos que supostamente ganham para cuidar dessas coisas enquanto o pov√£o corre atr√°s do custo de vida.
Acho que √© o fen√īmeno que os psic√≥logos chamam de “vi√©s de disponibilidade”: problema √© aquilo de que voc√™ j√° ouviu falar. Por exemplo, o risco de um cidad√£o dos EUA morrer
v√≠tima do impacto de um asteroide √© maior que o de ser v√≠tima de ma picada de cobra, mas cobras s√£o mais familiares que asteroides, logo…

Paradoxo de sexta (39)

O Paradoxo Heterológico, da semana passada é, como o Igor sugeriu, um tipo de paradoxo de autorreferência (que pode ocorrer quando uma frase ou palavra tenta dizer uma coisa sobre si mesma). Mas é de um tipo especial e historicamente importante: é um paradoxo de autorreferência de conjuntos.
Para entender o significado disso, vamos voltar ao estado da matem√°tica no in√≠cio do s√©culo passado: naquela √©poca, parecia — mesmo — que a realiza√ß√£o do sonho de reduzir a matem√°tica √† l√≥gica pura e de eliminar, se n√£o todas, pelo menos 99.9999% das circularidades e dos apelos √† intui√ß√£o nas defini√ß√Ķes matem√°ticas (tipo, “um n√ļmero par √© um n√ļmero divis√≠vel por 2. O que √© 2? √Č o menor n√ļmero par”) estava ao alcance da m√£o.
O ve√≠culo para isso seria a teoria dos conjuntos. N√ļmeros seriam definidos a partir de rela√ß√Ķes concretas entre conjuntos. Dois n√ļmeros seriam iguais, por exemplo, se os conjuntos a que se aplicam — digamos, um de cubos azuis e outro, de pir√Ęmides vermelhas — pudessem ser organizados de tal forma que, a cada cubo azul, correspondesse exatamente uma pir√Ęmide vermelha.
Perceba que essa √© uma defini√ß√£o de n√ļmero onde n√£o aparece a palavra “n√ļmero” no enunciado, o que √© considerado de muito bom tom. O conceito intuitivo de “um” entra na jogada, mas em nenhum momento “um” √© definido como n√ļmero ainda nessa etapa do processo.
O problema √© que logo apareceram defeitos na pr√≥pria teoria dos conjuntos. O paradoxo cl√°ssico √© o seguinte: um conjunto pode ser ou n√£o membro de si mesmo (o conjunto de todos os blogueiros n√£o √© um blogueiro, mas um blog que re√ļna as postagens de todos os blogs √© um conjunto de blogs e, tamb√©m, um blog).
Ent√£o, agora imagine o conjunto de todos os conjuntos que n√£o s√£o membros de si mesmos (todos os blogueiros, todos os crist√£os, todos os ateus, todas as torneiras…). Esse conjunto √© um membro de si mesmo?
Duh.
Se não é, então devia ser; se é, então não pode ser.
Como o paradoxo a semana passada pode ser refeito em termos de “o conjunto das palavras heterol√≥gicas” e do “conjunto das palavras autol√≥gicas”, ele √© equivalente a esse paradoxo mais geral dos conjuntos. Qual a sa√≠da?
Bom, a teoria dos conjuntos que permite a forma√ß√£o desse tipo de paradoxo foi classificada de “ing√™nua” e os matem√°ticos passaram a buscar alternativas. Uma que ficou famosa foi a Teoria dos Tipos, de Bertand Russell, que cria uma hierarquia de tipos: “tipo zero” s√£o os elementos sem membros; “tipo um” s√£o os conjuntos formados por coisas de “tipo zero”; “tipo dois” s√£o os conjuntos de coisas “tipo um”… Dessa forma, nenhum conjunto poderia ser membro de si mesmo, j√° que qualquer coisa de que ele seja membro tem, por defini√ß√£o, de pertencer a uma ordem, ou tipo, superior √† sua.
Mas nem todo mundo gostou da Teoria dos Tipos, e o problema não tem solução consensual até hoje.
Para a semana que vem, vamos não com um paradoxo, mas com uma pergunta: suponha que você jogue 100 moedas idênticas para cima. Qual a sua expectativa de que exatamente 50 caiam cara?

Acima, como abaixo

A Nature que circula esta semana traz um artigo sobre o melhor m√©todo de realizar o “empacotamento denso” de s√≥lidos plat√īnicos (os formados por pol√≠gionos regulares, e que voc√™ provavelmente estudou/est√° estudando/vai estudar no ensino m√©dio) e arquimedianos (formados por dois ou mais tipos de pol√≠gonos regulares). Quabndo bati o olho na hist√≥ria, pensei: que legal! E, logo em seguida, assaltou-me a d√ļvida: como explico que √© legal?
Come√ßando pelo come√ßo: “empacotamento denso” significa a melhor forma de junta um determinado conjunto de objetos num espa√ßo de modo que a maior fra√ß√£o poss√≠vel do espa√ßo seja ocupada pelos pr√≥prios objetos.
Cubos ou paralelepípedos têm uma densidade de empacotamento de 100%. Idealmente, é possível empilhá-los sem deixar nenhum espaço entre eles. Já esferas e icosaedros, por exemplo, são casos à parte.
O empacotamento de esferas, aliás, é um problema matemático clássico. Até Kepler, o das três leis, chegou a elaborar uma conjectura a respeito do modo mais eficiente de juntar esferas num espaço tridimensional. O problema é mais complexo do que parece: uma prova da conjectura, apresentada em 2005, ao que tudo indica não tem falhas. Se a conjectura estiver correta, o empacotamento mais denso possível de esferas gera um aproveitamento do espaço da ordem de pi/SQR 18, ou 74%.
No artigo da Nature, que tem como autor principal o engenheiro e matem√°tico Salvatore Torquato, da Universidade de Princeton, s√£o apresentados empacotamentos que superam os 90%, para o dodecadedro e o octaedro.
O caso do dodecaedro √© especialmente interessante porque essa √© a forma que esferas empacotadas assumem quando se permite que elas se expandam √† vontade, encontrando como barreira apenas a rigidez das esferas ao redor. Em duas dimens√Ķes, isso √© o que ocorre com c√≠rculos, que acabam deformados em hex√°gonos — da√≠ o formato dos favos de mel.
A conclus√£o do artigo de Torquato √© uma generaliza√ß√£o da conjectura de Kepler para todos os s√≥lidos plat√īnicos ou arquimedianos dotados de simetria central — isto √©, dotados de um centro que divide exatamente ao meio todas as linhas que unem pontos opostos da superf√≠cie. Essa generaliza√ß√£o diz que o modo mais eficiente que obter os empacotamentos √© por “treli√ßa”.
“O modo mais f√°cil de explicar a treli√ßa √© no caso de esferas”, escreveu Torquato, depois de consultado, via e-mail, por este blog. “Um empacotamento de esferas por treli√ßa significa que √© poss√≠vel dividir o espa√ßo em c√©lulas, ou unidades repetidas, id√™nticas, que cont√™m exatamente uma esfera. Cada esfera no empacotamento infinito pode ser vista como tendo uma c√©lula associada a si. Essas c√©lulas s√£o as menores unidades repetidas que permitem realizar o empacotamento. Em empacotamentos sem treli√ßa, as unidades repetidas s√£o mais complexas, porque cont√™m duas ou mais esferas, arranjadas de um modo mais complicado”.
E o que h√° de legal nisso? Bom, se voc√™ ainda precisa perguntar, fico surpreso que tenha lido a postagem at√© aqui. Mas respondo, mesmo assim: essa quest√£o do empacotamento √© mais uma evid√™ncia do que j√° foi chamado de a “nada razo√°vel aplicabilidade da matem√°tica √†s ci√™ncias f√≠sicas”. Tratado de modo abstrato, o problema do empacotamento denso oferece dados importantes para situa√ß√Ķes que v√£o desde a melhor forma de guardar latinhas de cerveja na geladeira √† organiza√ß√£o de sementes numa vagem, c√©lulas num corpo, √°tomos numa estrela.
O velho Hermes Trimegisto n√£o estava t√£o errado assim, afinal.

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