Paradoxo de sexta (29)

Come√ßando, como sempre, pelo da semana passada: √© tentador tratar a afirma√ß√£o do pref√°cio sobre haver erros no livro como um mero mecanismo ret√≥rico, mas n√£o √© disso que o paradoxo trata: a quest√£o √© que parece haver motivos fortes para acreditar que o livro √© completamente correto E que ele cont√©m erros. Mas isso √© uma contradi√ß√£o, como “tri√Ęngulo redondo”. Como escapar dela?
Minha solu√ß√£o favorita √© a probabil√≠stica. Digamos que o autor tem um alto grau de confian√ßa em cada uma das afirma√ß√Ķes feitas no livro — que pesquisou cada uma delas at√© 97% de confian√ßa em cada uma. Se o livro faz, digamos, 100 afirma√ß√Ķes, a chance de todas estarem corretas √© de (0,97)100, o que d√°… pera√≠… 0,04, ou apenas 4%!
Ou seja: embora cada afirmação do livro tenha 97% de chance de estar certa, a chance de todas estarem certas juntas é de menos de 5%.
O desta semana é o Paradoxo de Newcomb. Para ser completamente honesto, aviso que não existe uma solução consensual para este problema; há quem acredite que ele traz uma falácia embutida (como as provas de que 1=0), mas isso ainda não foi provado para a satisfação da comunidade filosófica (e matemática).
Funciona assim:
Imagine que voc√™ √© convidado a participar de um game show de TV, no qual lhe apresentam duas caixas, uma vermelha e uma azul. Voc√™ tem a op√ß√£o de pegar ambas a caixas, ou apenas a vermelha. O apresentador lhe diz que a caixa azul com certeza cont√©m R$ 1 mil. J√° a vermelha…
Bom.
Uma semana antes do dia do show, um supercomputador foi usado para criar um modelo matemático do seu cérebro (este é um supercomputador futurista, que até hoje foi perfeitamente capaz de modelar e simular corretamente tudo que lhe pediram, incluindo muitas coisas que parecem bem mais complexas que o cérebro de um participante de game show). Com base nesse modelo, o computador previu qual seria sua escolha. E com base nessa previsão, a caixa vermelha foi preenchida da seguinte forma:
(a) Com R$ 1 milhão, se o computador previu que você só pegaria ela.
(b) Com um sapato velho, se o computador previu que você pegaria ambas.
(c) Com um sapato velho, se o computador previu que você decidiria aleatoriamente.
Perceba que as caixas foram preenchidas com antecedência: o dinheiro não vai se transformar em sapato velho (ou vice-versa) no instante em que você decidir.
Qual a melhor decisão? Por quê? Se em vez do supercomputador fosse Deus fazendo a previsão, isso faria alguma diferença? (suponha, para efeito de argumento, que Deus existe neste cenário, e é onisciente).

Meu gato est√° morrendo

Enquanto escrevo, a gata vira-lata (com um certo jeito de siamesa) que mora comigo h√° 17 anos agoniza no tapete da sala, embrulhada em uma manta xadrez. Estou esperando o veterin√°rio para avaliar a situa√ß√£o e discutir op√ß√Ķes, mas n√£o tenho muitas d√ļvidas quanto a qual ser√° a decis√£o final.
Não sei se gata, a esta altura, sente dor: ela parece inconsciente, mas apresenta pequenos espasmos nas patas dianteiras e no pescoço. Seria dificuldade para respirar?
Ao mesmo tempo em que me vejo pensando na quest√£o da mente dos animais irracionais — at√© que ponto eles sentem (dor, amor, saudade, √≥dio)? at√© que ponto o modo deles de sentir √© comensur√°vel com o nosso? — penso tamb√©m nas decis√Ķes que tomei pela gata: traz√™-la ao apartamento, tirando-a do jardim da casa onde morei at√© 2000; n√£o teria sido melhor para ela ficar por l√°, com √°rvores e passarinhos? Mas ela teria vivido tanto na rua, com o risco constante de atropelamento, do cachorro do vizinho?
Eu tinha o direito de decidir por ela? E se n√£o tivesse, como consult√°-la? Faz sentido falar nisso? Ela n√£o √©, ao fim e ao cabo, apenas um aut√īmato org√Ęnico, programado pelos instintos para reagir √†s condi√ß√Ķes ambientais? Mas, at√© a√≠, n√£o somos todos?
Penso também, claro, na decisão que vou tomar daqui a pouco. Esta, pelo menos, será fácil: só o que me incomoda é a demora do veterinário em chegar. Como já disse alguém, guardamos para nossos animais de estimação uma misericórdia que negamos a nós mesmos.

Regenerando uma moeda

Suponha que voc√™ precise de uma moeda para tomar uma decis√£o num lance e cara-ou-coroa — por exemplo, definir quem dar√° o pontap√© inicial num jogo de futebol, ou se o vil√£o Duas-Caras deve ou n√£o matar a mocinha indefesa — mas desconfie que a √ļnica moeda dispon√≠vel seja “desonesta”, isto √©, n√£o tenha uma probabilidade de 50% de cair para cada lado.
Haverá salvação? Surpreendentemente, sim. A técnica foi originada pelo matemático John von Neumann, e consiste em jogar a moeda duas vezes para o alto, ignorando todos os resultados repetidos, tipo AA (duas cAras) ou OO (duas cOroas).
Isso funciona porque, se a probabilidade de a moeda dar “O” √© um n√ļmero qualquer “x”, a probabilide de ela dar “A” ser√° 1-x. Assim, a chance de ela produzir o resultado alternado “AO” ser√° (1-x)x, e o resultado alternado “OA”, x(1-x). Como a ordem dos fatores n√£o altera o produto, as alternadas AO e OA t√™m exatamente a mesma chance de aparecer.
Claro, para esse sistema funcionar √© preciso atribuir significados aos resultados AO e OA, por exemplo, chamando AO de “cara” e OA de “coroa”. Isso √© tudo o que basta para fazer uma moeda viciada dar uma resposta honesta.

Investigando a grande lixeira oce√Ęnica

Quem leu o livro O Mundo Sem N√≥s, de Alan Wrisman, certamente ficou impressionado com sua descri√ß√£o do destino dos pl√°sticos e PETs — como esse mterial, at√© agora virtualmente indestrut√≠vel por meio de processos qu√≠micos ou biol√≥gicos naturais, fragmenta-se cada vez mais, indo parar at√© mesmo no interior de animais microsc√≥picos.
Outro dado curioso sobre o destino do lixo √© o chamado “V√≥rtice Pl√°stico” do Oceano Pac√≠fico, uma regi√£o entre os EUA continentais e o Hava√≠ onde praticamente todas as formas de lixo jogadas ao mar na Am√©rica e na √Āsia v√£o parar, por conta das correntes oce√Ęnicas. Neste ano, uma equipe de cientistas pretende mergulhar no v√≥rtice.
A preocupa√ß√£o imediata √© a entrada do lixo pl√°stico na cadeia alimentar humana. Mas √© de se imaginar quanto tempo a evolu√ß√£o vai precisar para produzir uma bact√©ria capaz de digerir essa baga√ßa. E o estrago que esse bicho faria num supermercado — e no aquecimento global.

Ex-general dos marines e ex-astronauta é o novo chefe da Nasa

Sim, s√£o a mesma pessoa: o general Charles Bolden, veterano da guerra do Vietn√£ e o mesmo homem que pilotou o √īnibus espacial que levou o Hubble ao espa√ßo em 1990 foi nomeado, no s√°bado, novo administrador da Nasa.
√Äs portas da festa dos 40 anos do pouso na lua da Apollo 11 e com o destino do Programa Constellation — estabelecido depois que o ent√£o presidente Bush determinou um retorno √† Lua at√© 2020 — ainda indefinido, Bolden ter√° muito trabalho pela frente.
Abaixo, um v√≠deo da miss√£o em que Bolden levou o Hubble o espa√ßo, e no qual alguns reflexos na lente da c√Ęmera acabam gerando um pequeno mal-entendido ufol√≥gico entre o astronauta e o comando da miss√£o (o √°udio em ingl√™s √© meio ruim, mas vale a pena):

Pró-maconha e antitabaco: contradição?

Conversando outro dia com um amigo, deixei escapar que sou a favor de restri√ß√Ķes ao fumo em locais p√ļblicos, e tamb√©m a favor da descrimina√ß√£o (n√£o confundir com discrimina√ß√£o) da cannabis sativa. Sabendo como sou pentelho com quest√Ķes de l√≥gica e coer√™ncia, o amigo ficou olhando para mim como se eu tivesse acabado de cometer apostasia do culto de S√£o Arist√≥teles e Santo Russell.
A ideia de que as duas posi√ß√Ķes s√£o autoexcludentes e fazem parte do rol de contradi√ß√Ķes politicamente corretas da civiliza√ß√£o moderna parece estar ganhando for√ßa — se formos levar as se√ß√Ķes de coment√°rios dos portais noticiosos a s√©rio — e merece ser rapidamente posta para dormir.
Trata-se de uma confus√£o de grau: tirar da ilegalidade n√£o equivale a liberar geral, e restringir o uso n√£o equivale a declarar ilegal. Por exemplo, as restri√ß√Ķes ao fumo n√£o preveem pena de pris√£o para o comerciante que vender cigarros, nem o confisco das terras usadas para o plantio de tabaco para fins de reforma agr√°ria — duas medidas que, hoje, atingem a maconha.
Da mesma forma, a hipot√©tica legaliza√ß√£o do plantio e da comercializa√ß√£o da erva n√£o garantir√° a ningu√©m o direito autom√°tico de sair bafejando THC na cara de criancinhas dentro da √°rea infantil do McDonald’s.
No meu tempo de faculdade, surgiu um acalorado debate sobre o consumo de maconha nas depend√™ncias do Centro Acad√™mico — se deveria ser tolerado ou n√£o. Tentei chamar aten√ß√£o para o fato de que l√° j√° havia uma placa de “proibido fumar”, e que isso devia bastar para p√īr fim √† quest√£o, mas acho que ningu√©m estava ouvindo.
No fim, os fumantes que se queixam de estarem sendo “tratados como criminosos” na verdade est√£o se ressentindo da crescente reprova√ß√£o social que o ato de fumar atrai. Mas essa reprova√ß√£o faz parte da consci√™ncia coletiva da comunidade, n√£o das leis. E nada garante que ela n√£o v√° se estender ao (de novo, hipot√©tico) uso legal da maconha.
O que √© preciso buscar √© um equil√≠brio que evite submeter cidad√£os adultos a uma tutela paternalista estatal — onde o governo dita ao indiv√≠duo de que formas ele pode ou n√£o se divertir e/ou se autodestruir — e que preserve, ao mesmo tempo, o dever do Estado de proteger a coletividade e regular o uso civilizado dos espa√ßos p√ļblicos.
√Č dif√≠cil? Claro que √©. Mas fica um pouco mais f√°cil se nos dermos ao trabalho de notar que uma coisa √© uma coisa e outra coisa, outra coisa.

Sir Arthur Conan Doyle, 150

Eu raramente fa√ßo duas postagens no mesmo dia, mas a ocasi√£o merece: hoje faz 150 anos do nascimento de Sir Arthur Conan Doyle, criador de Sherlock Holmes, do Professor Challenger, amigo pessoal de Harry Houdini, defensor da exist√™ncia de fadas e descrito como o “ap√≥stolo Paulo do espiritualismo”.
A tens√£o entre o frio racionalismo de Holmes e o envolvimento de Conan Doyle com o sobrenatural √© uma fonte inesgot√°vel de especula√ß√Ķes sobre a natureza humana e a fragilidade da raz√£o perante a dor — o escritor perdeu um filho, um irm√£o e dois sobrinhos na Primeira Guerra Mundial.
Seu conturbado relacionamento com Harry Houdini ilustra bem o conflito complexo entre fatos e esperan√ßas, integridade e vontade de acreditar. Escritos autobiogr√°ficos de Houdini descrevem como Conan Doyle era parcial na an√°lise da evid√™ncia, ing√™nuo diante da fraude — e, ao mesmo tempo, inteligente e generoso.
O Professor Challenger, um cientista turr√£o e irasc√≠vel que descobre dinossauros na Amaz√īnia (entre outras coisas) foi um personagem criado por Conan Doyle j√° no s√©culo 20, e protagonizou a que talvez tenha sido a primeira superprodu√ß√£o de fic√ß√£o cient√≠fica e efeitos especiais do cinema.
Além das aventuras de Holmes e Challenger, Conan Doyle escreveu muita ficção científica, histórica (seu romance Miquéias Clarke, sobre as guerras religiosas na Inglaterra, é realmente muito bom) e boxe. Assim como as aventuras de Holmes, suas narrativas de pugilismo são empolgantes até hoje.

Paradoxo de sexta (28)

Primeiro, o da semana passada: o que distingue um g√™meo do outro, ao final do experimento, √© o fato de que o que viajou no foguete experimentou acelera√ß√Ķes, tanto na partida quanto ao fazer a volta para retornar √† Terra e, por fim, ao frear para pousar a nave.
Um dado que omiti propositalmente do enunciado foi o de que o princ√≠pio da relatividade — de que dizer que “eu me movo em rela√ß√£o a voc√™” equivale precisamente a dizer que “voc√™ se move em rela√ß√£o a mim” — s√≥ vale se o movimento em quest√£o for retil√≠neo e uniforme (na verdade, a Relatividade Geral complica um pouco isso, mas a quest√£o n√£o vem ao caso nesta situa√ß√£o espec√≠fica).
A partir do instante em que um dos membros do par em movimento sofre uma acelera√ß√£o e o outro n√£o, a simetria √© quebrada, e √© perfeitamente poss√≠vel para um observador qualquer — seja um dos componentes do par, seja um observador externo — dizer exatamente quem acelerou, por quanto tempo e com que intensidade.
Meu exemplo favorito para isso √© o do balde. Imagine uma caixa fechada, contendo um balde com √°gua e uma webcam. Voc√™, em sua casa, recebe a imagem gerada pela c√Ęmera: o que v√™ √© a superf√≠cie pl√°cida da √°gua dentro do balde (a c√Ęmera √© uma daquelas de vis√£o noturna).
Voc√™ sup√Ķe que a caixa com o balde dentro est√° parada, mas n√£o h√° como afirmar isso com certeza. N√£o h√° nada que a c√Ęmera lhe mostre que permita distinguir a caixa parada de uma caixa montada sobre rodas, puxada por uma corda sobe uma superf√≠cie plana, a uma velocidade constante.
Mas se a caixa sofrer uma acelera√ß√£o — for erguida, derrubada, receber um empurr√£o ou um pux√£o mais forte, girar — a √°gua vai denunciar o efeito imediatamente.
Agora, o desta semana: √© o Paradoxo do Pref√°cio (o link √© para o paper original que descreve o problema). Ele √© assim: muitos autores de livros de n√£o-fic√ß√£o costumam escrever no pref√°cio de seus livros coisas do tipo “todos os erros contidos nesta obra s√£o de minha inteira responsabilidade”, ou “esta obra certamente conter√° diversos erros e imprecis√Ķes…”.
Agora, como pode o autor realmente acreditar que o livro cont√©m erros? Ele obviamente n√£o p√īs nenhum erro deliberado ali. Ele certamente pesquisou o assunto a fundo. SE voc√™ abrir o livro ao acaso, apontar para um par√°grafo e perguntar ao autor “isto aqui est√° certo”, ele vai responder, “sim”. Voc√™ pode repetir a opera√ß√£o tantas vezes quantas forem necess√°rias at√© esgotar todo o conte√ļdo do livro, e ver√° que o autor, na verdade, acredita que tudo o que escreveu est√° certo.
No entanto, a experi√™ncia indica que a afirma√ß√£o do pref√°cio √© verdadeira. Livros de n√£o-fic√ß√£o recebem resenhas e cr√≠ticas que, geralmente, acabam produzindo novas edi√ß√Ķes corrigidas. Assim, da mesma forma que o autor tem motivos para acreditar que tudo que est√° no livro √© verdade — afinal, ele pesquisou o assunto e, ao publicar a obra, est√° apostando sua reputa√ß√£o nisso — ele tamb√©m tem motivos para acreditar que o livro precisar√° ser corrigido no futuro. S√£o cren√ßas contradit√≥rias, mas ambas racionais e bem embasadas!

O uso de senhas de segurança é sustentável?

Esta n√£o √© uma quest√£o ecol√≥gica, a menos que se considerem os n√ļmeros inteiros como uma esp√©cie amea√ßada (o que seria estranho porque, afinal, eles s√£o infinitos). Mas h√° algum tempo chegaram aqui em casa novos cart√Ķes de cr√©dito, em substitui√ß√£o a alguns que estavam vencendo. Todos com chip e senha.
Somando-se a isso a senha dos cart√Ķes de d√©bito, a senha do computador do trabalho, a senha para editar este blog, as senhas das minhas contas de e-mail, do twitter, orkut, scribd… Bom, n√£o d√°. Simplesmente, n√£o d√°.
Existe um princ√≠pio ir√īnico-matem√°tico chamado Lei Forte dos N√ļmeros Pequenos, que diz que “n√£o existem n√ļmeros pequenos suficientes para dar conta de tudo que se exige deles”.
Essa “lei” foi sugerida originalmente como uma observa√ß√£o do fato de que v√°rias s√©ries num√©ricas come√ßam da mesma forma (a On-Line Encyclopedia of Integer Sequences registra nada menos que 13.526 s√©ries come√ßando com 1,2,3…), mas ganha um novo significado neste nosso mundo de c√≥digos de acesso. E ela tamb√©m merece uma generaliza√ß√£o, que poder√≠amos chamar de Lei Forte do Teclado Qwerty: n√£o existem combina√ß√Ķes aleat√≥rias suficientes de caracteres ar√°bicos, latinos e especiais para dar conta de tudo o que se exige deles.
Claro, matematicamente falando falando, as combina√ß√Ķes poss√≠veis de letras e n√ļmeros superam em muito a popula√ß√£o da Terra (s√£o 48 teclas no meu computador, sendo que cada uma delas pode gerar pelo menos dois caracteres, num total de 96. O total de senhas de seis caracteres que isso pode produzir √© de 96 √† sexta pot√™ncia, ou quase 800 bilh√Ķes), mas na pr√°tica √© preciso levar em considera√ß√£o que (a) em v√°rias partes do mundo j√° temos muito mais de uma senha por habitante e (b) a mem√≥ria humana √© fal√≠vel, limitada, o que leva as pessoas a criar senhas em torno de padr√Ķes pr√©-estabelecidos ou a andar com os c√≥digos anotados na carteira. O que derrota todo o prop√≥sito das senhas, para come√ßo de conversa.
Enquanto a antropometria n√£o chega, eu j√° tomei uma decis√£o, duplamente sud√°vel: vou cortar radicalmente o uso de cart√Ķes de cr√©dito.

Mikhail Gromov recebe o Prêmio Abel

O russo naturalizado franc√™s Mikhail Gromov foi agraciado com o Pr√™mio Abel deste ano. O Abel √© uma tentativa bastante cuidadosa de emular o Nobel, premia√ß√£o que n√£o contempla a matem√°tica. H√° v√°rias lendas urbanas para explicar essa aparente neglig√™ncia de Alfred Nobel, minha favorita sendo a de que um matem√°tico dormia com a esposa do velho Alfred — o √ļnico problema com isso √© o fato de que Nobel morreu solteiro.
O Abel é um prêmio recente, instituído em 2002, mas que tem boas chances de se tornar uma instituição nos próximos anos e décadas. O premiado deste ano tem uma carreira longa e produtiva no campo da geometria não-euclidiana, mais precisamente da geometria de Riemann, na qual a cada ponto do espaço são associados um ou mais vetores.
Há um breve material introdutório (em inglês) sobre o assunto aqui, e uma visão simplificada do trabalho de Gromov aqui.
Por fim: o Pr√™mio Abel deve seu nome ao matem√°tico noruegu√™s Niels Henrik Abel, que demonstrou que n√£o existe uma f√≥rmula geral para a solu√ß√£o de equa√ß√Ķes de quinto grau — ao contr√°rio do que acontece, por exemplo, com as de segundo, que se rendem √† f√≥rmula de B√°scara. Mais tarde, o trabalho de Abel foi generalizado para uma demonstra√ß√£o de que tamb√©m n√£o h√° f√≥rmulas gen√©ricas para nenhuma equa√ß√£o de grau superior a cinco.
Isso n√£o significa que essas equa√ß√Ķes sejam insol√ļveis, mas sim que n√£o existem mais “balas de prata” alg√©bricas para altos expoentes. Ou: para resolver, √© preciso suar.

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