N√ļmeros imagin√°rios e complexos

Num coment√°rio √† minha postagem sobre a raiz quadrada de dois, Paula pergunta sobre n√ļmeros imagin√°rios, e para que servem. Acho que a quest√£o merece uma postagem √† parte, ent√£o ei-la aqui.
Bom, os n√ļmeros imagin√°rios s√£o definidos como os n√ļmeros que, elevados ao quadrado, s√£o negativos. Como o quadrado de todo n√ļmero real √© positivo, a√≠ est√°, por contraste, a origem do termo “imagin√°rio”. Os n√ļmeros imagin√°rios s√£o apresentados como m√ļltiplos de “i”, onde “i” representa a raiz quadrada de -1. Assim, por exemplo, (2i)2 √© -4.
E para que isso serve? No in√≠cio, os imagin√°rios foram assimilados para a judar a resolver equa√ß√Ķes. Se estivermos limitados aos n√ļmeros reais, quando uma seq√ľ√™ncia de c√°lculos chega √† raiz quadrada de um n√ļmero negativo √© preciso parar e dizer que o problema n√£o tem solu√ß√£o.
Mas alguns matem√°ticos, s√©culos atr√°s, se perguntaram o que aconteceria se simplesmente continuassem a trabalhar a equa√ß√£o, ignorando o fato de que a raiz negativa n√£o existia e substituindo-a por um s√≠mbolo qualquer (que acabou sendo uniformizado como a letra “i”). Surpreendentemente, descobriu-se que em diversos casos s ra√≠zes negativas se anulavam (tipo, i – i = 0) e o problema acabava tendo uma bela solu√ß√£o real.
Em muitos casos, mas n√£o em todos. Mesmo assim, aos poucos, os n√ļmeros imagin√°rios foram deixando de ser vistos como uma fic√ß√£o √ļtil e acabaram assimilados √† matem√°tica.
Depois disso, vieram os n√ļmeros complexos, que s√£o os que t√™m uma parte real e uma parte imagin√°ria, tipo a + bi. Os n√ļmeros complexos t√™m in√ļmeras aplica√ß√Ķes. Por exemplo:
As regras criadas para operar com eles, como (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (bi+di) servem como modelo para diversos fen√īmenos da natureza que ocorrem em pares — digamos, por exemplo, que as popula√ß√Ķes de machos e de f√™meas de uma esp√©cie em uma regi√£o seja (m,f) e em outra, (m2,f2). A soma dos dois pares ocorre de forma igual √† dos n√ļmeros complexos;
A representa√ß√£o geom√©trica dos n√ļmeros complexos no plano √© um bom modelo para opera√ß√Ķes com vetores, quantidades que, al√©m de tamanho, tamb√©m t√™m dire√ß√£o e sentido;
E, gra√ßas ao matem√°tico Leonhard Euler, foi estabelecida uma liga√ß√£o entre n√ļmeros complexos e trigonometria (seno, cosseno, etc.) o que torma as opera√ß√Ķes com eles um jeito conveniente de fazer c√°lculos envolvendo fen√īmenos peri√≥dicos, com a propaga√ß√£o de ondas de r√°dio.
Finalmente, alguns modelos da relatividade geral s√£o mais f√°ceis de administrar se a coordenada do tempo for tratada como um n√ļmero imagin√°rio.

The seven-per-cent solution

Neste romance de Nicholas Meyer, o Dr. Watson leva Sherlock Holmes a Viena, para que Sigmund Freud tente cur√°-lo de seu v√≠cio em coca√≠na. Estamos em 1891, e Freud ainda n√£o tinha inventado a psican√°lise — estava a meio caminho. A cura de Holmes vem por meio de uma combina√ß√£o de hipnose (para reduzir a √Ęnsia pela droga) e o bom e velho “cold turkey”: eliminar o acesso do viciado √† droga e trancar a porta.
No fim, ficamos sabendo que Holmes sofreu um trauma profundo na juventude que, guardado em seu inconsciente, levou-o ao vício e a várias características de sua personalidade, como a misoginia e o desejo de denunciar e capturar criminosos.
Trata-se de uma boa pe√ßa de fic√ß√£o policial (e cient√≠fica?) mas me deixou com uma d√ļvida: o inconsciente freudiano, o conceito de motiva√ß√Ķes inconscientes, ainda faz sentido, psicologicamente?

Por que os candidatos s√£o t√£o parecidos?

Morando no interior e trabalhando em S√£o Paulo, tive uma boa dose de exposi√ß√£o desapaixonada √† campanha eleitoral paulistana ¬†— e uma coisa que me surpreendeu um pouco na segunda-feira foi a rea√ß√£o indignada de muitos colegas com a vit√≥ria de Gilberto Kassab. N√£o entendi que diferen√ßa fundamental haveria entre ele e Marta Suplicy, com exce√ß√£o da embalagem, ambos caricatos em seus pap√©is de Mauricinho e Perua.
Mas isso me fez pensar Harold Hotelling e o problema dos dois carrinhos de sorvete.
Imagine uma praia de 1000 m de comprimento e dois carrinhos de sorvete, de donos diferentes. Do ponto de vsita dos sorveteiros — n√£o dos consumidores — qual a melhor posi√ß√£o para os carrinhos?
A resposta √©: no meio. Ou, um exatamente √† direita e o outro exatamente √† esquerda da linha de 500 metros. Por qu√™? Bem, imagine que um deles resolva p√īr o carrinho na linha dos 250 metros. Se o outro se posicionar nos 251, esse segundo vai atender a todos os cilentes de 251 a 1000, enquanto que o primeiro, apenas aos clientes de zero a 250. Claro, o arranjo dos dois carrinhos na linha de 500 metros √© p√©ssimo para os consumidores que est√£o nos cantos da praia, j√° que os for√ßa a andar meio quil√īmetro por um picol√©, mas que se dane o consumidor…
Tenho a impress√£o de que um fen√īmeno parecido est√° acontecendo na pol√≠tica: todos correndo em dire√ß√£o ao centro, para deixar o m√≠nimo de margem ideol√≥gica para o advers√°rio explorar.

Tetris é NP-hard!

Encontrei esta folheando o Universal Book of Mathematics, de David Darling: o jogo de Tetris √© um problema tipo NP¬† NP-hard! L√° se vai minha estrat√©gia de manter o n√ļmero de linhas o mais baixo poss√≠vel…
Explicando: NP NP-hard √© uma classe de complexidade que re√ļne problemas que n√£o t√™m uma f√≥rmula geral de solu√ß√£o. Por exemplo, uma conta de multiplicar n√£o √© NP NP-hard, porque existe um procedimento, o algoritmo da multiplica√ß√£o, que se for aplicado corretamente gera o produto de dois n√ļmeros, n√£o importa que n√ļmeros sejam esses.¬†
J√° para encontrar a sa√≠da de um labirinto n√£o existe nenhum algoritmo onde, digamos, informando-se o comprimento m√©dio dos corredores e o n√ļmero esquinas √† direita,¬†obt√©m-se uma rota de sa√≠da. O √ļnico jeito de resolver um problema NP¬† NP-hard √© testar todas as solu√ß√Ķes plaus√≠veis, at√© que uma delas funcione. O consolo √© que √© f√°cil testar os candidatos — o procedimento de teste √©, como se diz, comput√°vel.
O fato de Tetris ser NP NP-hard significa que nenhuma estrat√©gia — como a minha favorita, de eliminar toda linha que possa ser eliminada o quanto antes — garante pontua√ß√£o m√°xima. O √ļnico jeito de descobrir qual a melhor estrat√©gia para pontuar numa partida √© jogando a partida; com o corol√°rio de que, quando a estrat√©gia tiver sido descoberta a partida ter√° acabado, o que torna a estrat√©gia in√ļtil, porque ela provavelemente n√£o vai funcionar na pr√≥xima partida.
Até soa como algo profundo, acho.

Raios-X de durex

Esta aqui √© para McGyver nenhum botar defeito: desenrolar uma bobina de durex em alta velocidade emite raios-X suficientes para produzir uma radiografia. O √ļnico problema √© que a performance requer uma c√Ęmara de v√°cuo. ¬†
O caso, descrito na Nature, √© uma inst√Ęncia de um fen√īmeno chamadao triboluminesc√™ncia, a emiss√£o de luz por meio do esmagamento, raspagem ou quebra de um cristal.¬†
No caso da fita adesiva, a idéia é que, ao arrancar a fita da bobina, cria-se um desequilíbro na distribuição de elétrons entre a parte adesiva removida e a fita de polietileno da camada inferior. Sem o ar ao redor para atrapalhar, esses elétrons são acelerados o suficiente para produzir pulsos de radiação.

Sendo humano: religi√£o

T√°, eu ia deixar o assunto de lado por um tempo, mas os fatos n√£o permitem: a Nature est√° lan√ßando nesta semana uma s√©rie de ensaios sobre a natureza humana, chamada Sendo Humano (“Being Human”) e o primero tema tratado n√£o foi logo religi√£o?
De autoria de Pascal Boyle, autor do livro de psicologia/antropologia¬†Religion Expalined, ¬†¬†o artigo resume os argumentos a favor da id√©ia de que a religi√£o √© uma esp√©cie de subproduto de¬†poderes que o c√©rebro adquiriu ao longo da evolu√ß√£o, como a capacidade de interagir com¬†amigos imagin√°rios — algo √ļtil, j√° que nos permite simular intera√ß√Ķes sociais antes que elas ocorram.¬†
Antes que algu√©m fique bravo com a compara√ß√£o entre deus e amigos imagin√°rios (“uma guerra religiosa √© uma disputa para ver quem tem o amigo imagin√°rio mais bacana”, j√° dizia a velha piada), Boyle reconhece que os fen√īmenos religiosos envolvem uma intera√ß√£o complexa entre¬†v√°rias √°reas do c√©rebro, como a que gera apego ao grupo e a execu√ß√£o de comportamentos repetitivos e ritualizados.
A revista montou um site específico para a série Being Human, aqui. O texto de Boyle (espero que aberto também para não-assinantes) está aqui.

Os neandertais e a História da Salvação

Uma edição recente da National Geographic traz um belo dossiê sobre o homem de neandertal e que me trouxe uma associação meio maluca de idéias: afinal, como um ramo extinto do gênero Homo se encaixa na visão cristã da história da humanidade?
O cristianismo, afinal, tem uma chamada “Hist√≥ria da Salva√ß√£o“: como a humanidade “caiu”, foi salva por Cristo e, em algum momento do futuro, ap√≥s a “consuma√ß√£o dos tempos”, voltar√° a viver num para√≠so terrestre, em corpos superpoderosos ressuscitados.
Mas o homem de nandertal tamb√©m era, ao que tudo indica, racional, capaz de fazer escolhas morais, criado √† Imagem e Semelhan√ßa do Criador… e desapareceu antes que o drama da salva√ß√£o se desenrolasse; a “consuma√ß√£o dos tempos” veio antes para ele.
O que isso significa? Que os neandertais nunca “ca√≠ram” e j√° foram arrebatados, em estado de gra√ßa, para o Para√≠so? Que, se ca√≠ram, o Cristo deles veio mais cedo? Que Deus criou uma humanidade paralela s√≥ para abandon√°-la e troc√°-la por n√≥s?
Para onde foram as almas dos neandertais?

L√≥gica de√īntica

Como ontem eu postei sobre uam quest√£o √©tica meio cabeluda — eugenia — hoje vou tratar um pouco da l√≥gica de√īntica, ou a tentativa de se criar um sistema formal que permita deduzir quais conclus√Ķes se seguem logicamente de um determinado conjunto de normas √©ticas.
A id√©ia de uma l√≥gica de√īntica surge, meio que naturalmente, quando se contempla o grande sucesso da l√≥gica em transformar enunciados em s√≠mbolos que podem ser manipulados de forma abstrata, sem refer√™ncia a seu significado, como em:
LA ->  MB
(os operadores “L” e “M”¬†querem dizer “√© poss√≠vel que”¬†e “√© necess√°rio que”, respectivamente; “->” significa “ent√£o”.¬†A senten√ßa se l√™ “Se a √© A poss√≠vel, ent√£o¬†B √© necess√°rio”).
MB -> MC
Conclui-se:
LA -> MC.
Onde √© poss√≠vel, substituindo-se LA, MB, MC por enunciados verdadeiros, garantir que a conclus√£o ser√° verdadeira. No campo da √©tica, ent√£o, seria poss√≠vel criar um sistema de s√≠mbolos que permitisse manipular enunciados abstratos n√£o em termos de “poss√≠vel” ou “necess√°rio”, mas de “obrigat√≥rio”, “permitido”, “opcional”, “proibido”?¬†
Se isso pudesse ser feito, n√£o s√≥ todos os problemas da √©tica e do direito seriam, em princ√≠pio, redut√≠veis a um n√ļmero finito de opera√ß√Ķes matem√°ticas, como seria poss√≠vel testar projetos de lei e propostas √©ticas logicamente antes de adot√°-los, e reduzindo (ou, at√©, eliminando) a possibilidade de surgirem propostas que levassem, mais adiante, a resultados absurdos ou contradit√≥rios.
De in√≠cio, parece ser f√°cil definir os termos b√°sicos. Vamos adotar o operador “O”, no sentido de “√© obrigat√≥rio”, e “~”, para significar “n√£o”. Ent√£o, temos:
OA, “A √© obrigat√≥rio”;
~OA, “A n√£o √© obrigat√≥rio”, ou “A √© opcional”;
O~A, “√© obrigat√≥rio que n√£o se fa√ßa A”, ou “A √© proibido”;
~O~A, “n√£o √© obrigat√≥rio que n√£o se fa√ßa A”, ou “A √© permiss√≠vel”.
Até aí, tudo bem. Mas conflitos não demoram muito a surgir.  Por exemplo, imagine que você vê uma criança se afogando. Intuitivamente, é obrigatório salvá-la. Vamos chamar essa conclusão de OB (sem trocadilho).
Mas, para salv√°-la, √© necess√°rio pular na √°gua. Vamos chamar isso de MA. E tamb√©m parece evidente que pular na √°gua tamb√©m √© obrigat√≥rio (OA), dadas as circunst√Ęncias. Ent√£o, podemos concluir que:
(OB -> MA) -> OA.
Ou, se uma coisa é condição necessária para que se cumpra uma obrigação, então essa coisa também é uma obrigação.
Parece perfeitamente sensato, mas essa estrutura d√° margem ao chamado Paradoxo do Assassino Gentil. Assim:
√Č obrigat√≥rio, ao¬†matar algu√©m, matar¬†de forma indolor. Mas s√≥ posso matar algu√©m de forma indolor se eu matar algu√©m. Mas como toda condi√ß√£o necess√°ria para o cumprimento de uma obriga√ß√£o tamb√©m √© uma obriga√ß√£o, conclui-se que eu devo matar algu√©m.
O que é um absurdo óbvio. 
Tentativas de contornar o problema envolvem, por exemplo, a ado√ß√£o do conceito de condicionalidade “/”, significando “dado que”, que gera senten√ßas do tipo O(B/A), ou “Devo matar de forma indolor, dado que vou matar”.
Mas esse sistema tamb√©m encontra obst√°culos mais √† frente… A l√≥gica de√īntica ainda √© um campo f√©rtil de debate.

Quem tem medo da eugenia?

√ďquei, a palavra carrega uma carga ideol√≥gica terr√≠vel. A id√©ia de controlar conscientemente as caracter√≠sticas de uma gera√ß√£o futura de seres humanos, sempe que aplicada em larga escala, foi usada em nome de pol√≠ticas autorit√°rias e preconceituosas.¬†
Mas essa forma — autorit√°ria e preconceituosa — √© a √ļnica forma em que o conceito pode ser usado? Autoritarismo e preconceito s√£o caracter√≠sticas essenciais da eugenia, ou se ligaram a ela por mero acidente hist√≥rico?
¬†Eu diria que √© perfeitamente poss√≠vel separar uma coisa da outra. Por exemplo: muitas pr√°ticas adotadas de forma corriqueira por gestantes mais bem informadas, como evitar tabaco e √°lcool ou usar suplementos de √°cido f√≥lico, podem muito bem ser consideradas “eug√™nicas” (e s√≥ n√£o s√£o chamadas assim, suponho, para evitar a associa√ß√£o com a eugenia autorit√°ria de triste mem√≥ria).
Qual seria a diferen√ßa — al√©m da de grau — entre o cuidado informado da m√£e durante a gesta√ß√£o e o cuidado informado dos pais na composi√ß√£o gen√©tica do embri√£o?
Hoje em dia, a medicina j√° d√° aos pais algum controle sobre a vida intra-uterina do filho.
Os mesmos pais, ali√°s, que sempre tiveram amplo controle sobre a vida extra-uterina: escolhem qual ser√° a religi√£o da crian√ßa, em que escola vai estudar, quais pratos vai comer. Al√©m disso, sempre coube aos pais escolher que genes ela ter√°: optar por um parceiro para gerar um filho √© um c√°lculo eug√™nico, ainda que relizado, de forma inconsciente, por horm√īnios e codificado em regras sociais.
¬†¬†Ent√£o, o que h√° de errado com o passo al√©m — permitir aos pais que escolham n√£o s√≥ o “pool” gen√©tico gen√©rico da onde a crian√ßa sair√° (que √©, afinal, o genoma somado dos c√īnjuges) mas que selecionem genes espec√≠ficos?
Acho que existem três temores envolvidos aí: o primeiro é uma forma de determinismo genético, o medo de que, se for possível escolher cada gene, será possível fabricar zumbis, criar crianças que não serão mais que reflexos despersonalizados das expectativas dos pais. Mas me parece que a interação entre gene e ambiente é um pouco complexa de mais para permitir isso.
O segundo √© o temor da mercantiliza√ß√£o da crian√ßa: ela deixaria de ser vista como um novo ser humano e pasaria a ser encarada como uma mercadoria, encomendada, fabricada e paga. MInhas d√ļvidas nesse caso s√£o (a) ser√° que j√° n√£o chegamos de fato a esse ponto, mesmo sem eugenia? e (b) se essa vis√£o mercantil se traduz em algo ruim para a crian√ßa: beb√™s¬†desejados s√£o recebidos com amor, n√£o importa a matriz ideol√≥gica que presidiu sua concep√ß√£o.
O terceiro, claro, √© o medo de “brincar de Deus”. Se as pessoas come√ßarem a ter os filhos que desejam, e n√£o os filhos que Deus manda, isso n√£o ser√° um pecado horr√≠vel?
√Č dessa terceira obje√ß√£o que surge, a meu ver, o mais forte argumento a favor de uma vers√£o individualizada, n√£o-preconceituosa e n√£o-autorit√°ria (mas talvez mercantil) eugenia: na senten√ßa acima, “Deus” pode muito bem ser substitu√≠do por “acaso”. No fim, ou a concep√ß√£o de um novo ser humano est√° sob o controle de algu√©m, ou est√° ao sabor do acaso. Se esse “algu√©m” forem os pais — e n√£o o Estado ou o Dr. Mengele — como isso pode ser pior que o acaso?

Miller ataca novamente

A Science desta semana traz a not√≠cia da “redescoberta” de uma vers√£o alternativa do experimento cl√°ssico de Stanley Miller sobre a poss√≠vel origem das mol√©culas constituintes da vida.
Nessa “nova” vers√£o, a mistura de gases redutores de Miller foi enriquecida com vapor de √°gua. O resultado, segundo a descri√ß√£o na Science,¬†√© um ambiente muito parecido com o que acredita existir nos arredores de ilhas vulc√Ęnicas, principalmente em tempos de erup√ß√£o.
Assim, d√©cadas depois de a id√©ia de que a Terra primitiva teria uma atmosfera redutora ter sido abandonada, a “sopa primordial” de Miller ganha um novo poder como modelo cient√≠fico.
Um adendo: dada essa nova descoberta, e os resultados paralelos sobre aminoácidos em meteoritos, a pergunta é: onde a vida pode não ter começado?

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