Aritmética alternativa

Immanuel Kant, um gênio sob todos os aspectos, achava que a geometria euclidiana era a priori, isto é, um dado bruto da realidade, algo intrínseco à conformação do universo e da mente humana. Claro, as geometrias não-euclidianas apareceram depois, mostrando que, ao menos desse ponto, ele estava enganado.
E o que dizer da álgebra? As regras que aprendemos na escola para manipular símbolos de forma lógica a fim de resolver equações também parecem existir necessariamente e não admitir alternativas, mas álgebras não comutativas existem há um bocado de tempo, com regras diferentes e apresentando resultados bastante úteis e verdadeiros.
E então, o que dizer da aritmética, o ramo da matemática que lida com as propriedades básicas dos números — tipo 1+1=2, ou existem infinitos números primos? Será possível haver uma álgebra aritmética alternativa?
Imagine o impacto disso — haver um conjunto de regras diferente mas igualmente válido para totalizar saldos bancários, calcular impostos, contar quantas maçãs há na fruteira… Ou descobrir que há um jeito certo de calcular uma metade de 7 diferente de 3,5?
Eu adoriaria ter pensado nisso sozinho, mas a idéia está no livro de ficção científica Dark Integers, do escritor australiano Greg Egan. Esse é um dos caras que eu quero ser quando crescer.

Discussão - 7 comentários

  1. Patola disse:

    Isso não é uma conclusão um pouco extrema? Em geral, as regras/lógicas ditas “alternativas” se aplicam a conjuntos de elementos diferentes das “convencionais”. Álgebras não-comutativas, por exemplo, simplesmente não funcionam – não conferem com a realidade – quando colocadas no contexto das comutativas. Por que uma aritmética não-comutativa funcionaria?

  2. Eu não tenho certeza de que Kant afirmou realmente que a geometria euclidiana era a priori como um sistema acabado de axiomas. O que de fato era a priori para Kant era a estética transcendental, nossas concepções de espaço e tempo. O espaço ao qual as proposições da geometria euclidiana aludia era, ele sim, a priori. O “aparelho” cognitivo humano era determinista. O que as geometrias não-euclidianas abalaram foi esta crença no sujeito transcendental, uma crença, na verdade, metafísica. Agora a idéia do Greg Egan realmente é de dar inveja.

  3. cretinas disse:

    Oi, Patola!
    A questão e que a aritmética parece tremendamente básica, mais básica do que a geometria ou a álgebra. Concordo que é concebível um quadro de referência em que faça sentido falar, digamos, que 1+2=3 e que seja passível de uma conversão “civilizada” para com a aritmética normal (como a geometria esférica tem com a plana), mas realmente não consigo imaginar como seria isso… Ou que tipo de aplicação teria; é isso que torna a idéia tão legal.

  4. Sandro disse:

    Bem, na verdade nem sempre 2 + 2 = 4.
    2 + 2 pode não existir, basta que o primeiro “2” pertença a um conjunto e o segundo a outro – não se pode somar elementos de conjuntos diferentes. Existindo a soma 2 +2 ela pode ter como resultado qualquer valor entre 0 e 4, basta que 2 e 2 sejam os módulos de dois vetores, e aí o resultado da soma depende do ângulo, que varia de 0° a 180°.

  5. cretinas disse:

    Verdade, Sando, mas as operações aritméticas na base sempre seguem as mesmas regras — uma soma vetorial é uma operação mais complexa que uma soma aritmética simples, mas depende da soma aritmética simples para funcionar do jeito que funciona.

  6. Tesso disse:

    Bom ninguem sabe como os autistas consegue fazer contas absurdas…. como eles conseguem olhar p/ um bucado de palitinhos no chao e saber a quantidade exata que esta la.

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