Paradoxo de sexta (10)
Quanto ao paraoxo, número 9, ele morreu rapidinho e de boa morte: realmente o erro está na extração das raízes quadradas, que não levou em consideração a possibilidade das raízes negativas.
Como o desta semana é o número 10, resolvi pegar um osso mais duro de roer (ou, ao menos, que a mim me parece mais duro…). Ele parte de duas constatações lógicas simples.
Primeiro: a formulação lógica a -> b (“se a, então b”) é sempre verdadeira quando o primeiro termo, “a”, é falso (para mais detalhes, leia aqui).
Segundo: uma disjunção — uma formulação do tipo A ou B — já é verdadeira se apenas um dos termos for verdadeiro. Assim, “Elvis estão vivo ou a Lua tem fases” é verdade.
Desses dois fatos, dá para concluir que a construção (a->b) ou (b->a) é sempre verdade. Porque, se “a” for falso, o primeiro termo entre parênteses é verdadeiro; se “b” for falso, o segundo é. Se tanto “a” quanto “b” forem verdadeiros, os dois parênteses também são, e a disjunção continua verdadeira.
Mas se estamos validando essa estrutura, estamos validando também a seguinte afirmação:
(Se um número é primo então ele é ímpar) ou (Se um número é ímpar, então ele é primo). Como 2 é par e primo, e já provamos que essa estrutura lógica só dá resultados verdadeiros, somo sentão obrigados a concluir que todos os números ímpares são primos.
O que, obviamente, não é verdade. Então, onde escorregamos…?
Discussão - 8 comentários
O problema é que (Se um número é primo então ele é ímpar) ou (Se um número é ímpar, então ele é primo) não está na forma (a->b) ou (b->a)
mas sim na forma ∀x(a(x)->b(x)) ou ∀x(b(x)->a(x)), e isso não é sempre verdadeiro. Para estar na primeira forma, "um número" teria que ser definido.
Acho 🙂
o problema é que a lógica não dá valor para o conteúdo das expressões bem-formadas.
então o que importa é A e B, e não números primos pares/ímpares, ou seja lá o que que esteja na frase.
Discordo. (A->B) ou (B->A) pode não ser verdadeiro se A e B são falsos. "Por acaso" tal possibilidade foi omitida na enunciação do paradoxo e é exatamente o caso em questão.
A tabela de verdades do "ou" é:
F V
F F V
V V V
Como temos F ou F, o resultado é falso.
A tabela saiu mal formata pq esse sistema de comentários come espaços em branco. Nova tentativa:
.....F.....V
F....F.....V
V....V.....V
tudo depende da flexibilidade do rabo da lagartixa
@Blog Mallmal:Se A e B são falsos, então A->B é verdadeiro, logo o "ou" é verdadeiro.
O problema é a implicação material.
(a->b)v(b->a) é sempre verdadeiro! E no caso, sendo a->b "n é primo -> n é ímpar" e sendo b->a "n é ímpar -> n é primo". Isso é verdade sempre.
Peguemos o 2. O 2 é primo, mas não é ímpar. Mas, como ele não é ímpar, a segunda implicação é verdadeira. O problema é que para cada valor de n, uma implicação ou a outra será verdadeira. Peguemos o 9, que é ímpar mas não é primo. Como ele não é primo, a primeira implicação é verdadeira, e não a segunda.
O raciocínio é o seguinte:
a <= n é primo.
b b)v(b->a) ;; VERDADE!
Seja n = 2.
(a->b) é falso e (b->a) é verdadeiro ;; VERDADE, mas para n = 2!!
Logo
∀n, b->a ;; FALSO
A falácia foi pegar um resultado específico para tirar uma conclusão geral.
(Gostam desse tipo de problema? Não deixem de visitar a Problemópolis: http://problemopolis.wordpress.com )