Paradoxo de sexta (22)

Oi, gente! O da semana passada se resolve, como bem notou um dos comentaristas, notando-se que os eventos encadeados — os voos bem-sucedidos do piloto — são independentes, o que invalida a soma direta das probabilidades.
Refazendo o exemplo da moeda: de fato, a chance de uma moeda dar cara OU coroa num único lance e 50%+50% = 100%, já que são eventos mutuamente excludentes. Agora, qual a chance de a moeda dar cara no primeiro lance OU no segundo? É óbvio que essa probabilidade não é de 100% — existe a possibilidade se tirar duas coroas.
Quando se quer calcular a probabilidade de um evento ocorrer em uma oportunidade OU outra, sendo que uma é independente da outra, a fórmula é 1- [p(~N)], onde “p(~N)” é a probabilidade de o evento não acontecer em nenhuma delas. Assim, por exemplo, qual a chance de se obter pelo menos uma cara em dois lances de moeda? É 1-p(Duas coras consecutivas), ou p(2Coroas), pra simplificar. Esse P(2Coroas) é 50%x50%, ou 25%. Logo, a chance de pelo menos uma cara é 75%.
Isso também explica o suposto paradoxo da loteria: a chance de uma pessoa ganhar duas vezes na loteria é maior ou menor do que a de ela ganhar uma vez só? A resposta é que a chance de ele ganhar a segunda vez é exatamente a mesma de ganhar a primeira, mas a chance de ganhar ambas é a multiplicação das chances — digamos, 0,0001×0,0001, da mesma forma que a chance de se tirar cara em cada lance de moeda é 50%, mas a chance de duas caras consecutivas é 25%.
O desta semana é o paradoxo da gravata.
É assim: dois homens ganham gravatas de suas mulheres no Dia dos Pais e, depois de tomar umas e outras, começam a discutir sobre quem tem a gravata mais cara. Conversa vai, conversa vem, decidem fazer uma aposta: cada um vai perguntar à mulher quanto a gravata custou, e quem tiver ganho a mais cara vai dá-la a quem ganhou a mais barata.
Um dos homens raciocina assim: se eu perder, perco só o valor da minha gravata. Se eu ganhar, ganho o valor da minha gravata, mais “x”. Logo, só tenho a ganhar com essa aposta.
O outro homem raciocina exatamente da mesma forma, e ambos estão satisfeitíssimos com a aposta.
Mas, espere um pouco: é impossível haver uma aposta onde os dois lados ganham. Apostas, por definição, não são win-win situations. O que está acontecendo aqui?

Discussão - 6 comentários

  1. Blog Mallmal disse:

    O que está acontecendo é que os apostadores presumem uma simetria baseada em ignorância, que na verdade não existe.
    A situação dos dois não é igual. Um JÁ possui a gravata cara e o outro JÁ possui a gravata barata.
    Inevitavelmente um deles está apostando uma gravata barata contra a cara. E ficará sem ela.
    Logo, o pensamento correto de cada um deveria ser: Estou apostando uma gravata com a média dos preços (dada a ignorância), com 50% de receber “duas gravatas de preço médio” e 50% de ficar sem nada. Soma zero.
    Palavra de Nash. Glória a vós, John.

  2. João Tavares disse:

    O raciocínio para ganho que os homens utilizam é coerente, no entanto o pra perda não.
    Da mesma forma que caso ganhe o individuo terá o valor da gravata mais X, se perder terá perdido o valor da gravata mais X (que deixa de ganhar).

  3. Jk disse:

    Aconteceu um papo altamente etílico.
    Perder = possuir a gravata mais cara (perderá o valor da gravata)
    Ganhar = possuir a gravata mais barata (apenas ganhará uma gravata e não gravata+x)

  4. Kitagawa disse:

    Comentário sobre seu comentário sobre o paradoxo passado, dois causos para ilustrar:
    1- Um amigo meu estava preocupado porque estava viajando muito de avião. Eu brincava com ele que com tantos voos a probabilidade dele morrer num acidente já estava perto de 100%. Ia chegar o dia em que ele ia pegar o voo com a certeza de que ele ia morrer. Claro, só piada, intuitivamente sabemos que isso nem chega perto da verdade.
    2- Outro: eu quase nunca jogo na loteria, mas um dia companhei um amigo que o faz regularmnte. Eu então aproveitei e fiz uma fezinha, um real apenas. Ganhei na quina! (sério, quando penso na probabilidade disso acontecer, me sinto um “escolhido”). O fato é que nunca mais joguei. Pois acho quase impossível ganhar de novo, apesar de saber que a chance a cada jogada é a mesma.
    Interessante como as duas posturas se contradizem…
    Afinal, me ficou a pergunta. Se eu já ganhei na loteria, a probabilidade de eu ganhar de novo é 0,0001% ou 0,0001% x0,0001%. Sim, ois se eu ganahr de novo, terei ganho duas vezes. aff, vou dormir…

  5. Alexander disse:

    Entao, ainda sobre a pergunta da semana passada, mas indo um pouco mais alem. A medica ginecologista da minha esposa disse q uma mulher na idade dela tem 30% de chance de engravidar. Eu nao sei da onde saiu esse valor, mas supos q seja a chance mensal caso exista relacoes sexuais normalmente. Porem apos um ou dois meses sem noticias de um herdeiro a caminho, pensei em calcular qual seria a chance para os proximos meses, me baseando nesse valor 30%, q nao sei o grau de confiabilidade.
    A soma das chances nao seria a chance depois de alguns meses. A conta eh bem mais complicada …

  6. cretinas disse:

    Oi, Alexander!
    A chance dela engravidar ao cabo de “n” meses, se vcs mantiverem relações todos os meses, é 1 – a chance dela NÃO engravidar nesse mesmo período. Digamos que vcs resolvam tentar durante um ano. A chance dela não engravidar no período é de 70% (1o. mês) e 70% (2o. mês) e 70% (3o.mês), etc, até compeltar 12 meses. Isso é 0,7×0,7×0,7…, ou 0,7 elevado à 12a. potência. A conta dá 0,013 e uns quebrados. Tirando isso de 1, temos 0,98 (arredondando). Ou seja, a chance de ela engravidar depois de um ano fazendo sexo todos os meses, sem o uso de anticoncepcionais, é de 98%.

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