Raiz quadrada de dois é número irracional

Quando surgiu a idéia da blogagem coletiva sobre descobertas científicas, a que primeiro me ocorreu como mais legal de todas foi a de que há precursores de DNA e RNA no espaço — mas em seguida me lembrei de outra, envolta em séculos de intriga, segredo e mistério: a de que é impossível expressar certos números (como a raiz quadrada de 2) sob a forma de fração.
Só afirmar que os números irracionais foram “descobertos” abre espaço para uma ampla discussão filosófica, a saber, se os matemáticos descobrem ou inventam as verdades matemáticas.
Sem a menor pretensão de resolver o debate milenar sobre o platonsimo na matemática, eu diria que as verdades matemáticas existem não no mundo das idéias e nem na mente dos matemáticos, mas lá fora,  no Universo: cada teorema é testado um número infinito de vezes nas inúmeras (infinitas?) confugurações de matéria, tempo e espaço. 
Bom, voltando aos números irracionais: durante séculos, os pitagóricos defenderam a idéia de que tudo no universo podia ser expresso por número e harmonia (“número” sendo números inteiros e “harmonia”, proporções entre números inteiros). Trata-se do caso típico de uma boa idéia levada longe demais: muita coisa pode ser expressa dessa forma, mas tudo já era um exagero.
O fato, porém, é que os pitagóricos tinham evidência de que essa idéia era furada: a prova secreta de que a raiz quadrada de dois (ou, mais propriamente, o comprimento da hipotenusa de um triângulo retângulo com catetos de comprimento unitário) não era um número inteiro e não podia ser expressada como razão entre números inteiros.
E o que ele fizeram com a evidência? O que todo grupo humano que se exime da crítica externa faz: tentaram suprimi-la. Há lendas de assassinatos cometidos para impedir que O Segredo escapasse.
A prova da irracionalidade da raiz quadrada de dois é de uma simplicidade cristalina — sempre que a vejo, quase me faz chorar. Encerro a postagem com ela:
Suponha que a raiz quadrada de 2 é racional. Então, há dois números, a e b, tais que:
(a2/b2)=2
Vamos supor, também, que a e b não têm fatores em comum — isto é, que a fração a/b, nossa hipotética raiz quadrada racional de 2, já está simplificada ao máximo. 
Prosseguindo:
a2=2b2
Daí podemos concluir que “a2” é um número par, já que é o dobro de outro número, b2. Também dá para concluir que “a” é par e “b”, ímpar — porque, primeiro, só números pares dão origem a quadrados pares; e, segundo, “b” tem que ser ímpar, senão ainda seria possível simplificar a fração “a/b” pelo menos mais uma vez, dividindo numerador e denominador por 2.
Mas, se “a” é par, ele é o dobro de um outro número, f. Assim, dá para trocar “a2” por “4k” — sendo 4k a forma genérica de um número par genérico (2f) elevado ao quadrado: 4k = 22xf2, sendo k=f2.
A fração original, então, torna-se:
(4k/b2)=2
Da onde:
4k = 2b2
Simplificando:
2k = b2.
Então, “b2” é um número par. Mas… “b2” tem que ser ímpar , como concluímos lá em cima! Logo, a idéia de a/b é uma razão de números inteiros leva a uma contradição. Logo…
(Ei! o que esses caras de toga com adagas estão fazendo aqui?)

Discussão - 14 comentários

  1. Igor Santos disse:

    Também me deu vontade de chorar, mas muito provavelmente por motivos diferentes...

  2. cretinas disse:

    Pô, Igor, matemática é legal! Os melhores moemntos do meu 2o. grau eram as demonstrações de teorenmas nas aulas de geometria.
    (Ok, isso faz de mim um nerd nível 2, suponho. Um nerd nível 1 teria ido estudar engenharia ou física, não jornalismo...)

  3. Carlos Hotta disse:

    Papagaios! Minah cabeça dói! É por isso que eles se chamam números irracionais?

  4. cretinas disse:

    Em parte. Mas o motivo principal é que não existe uma "razão" entre dois números inteiros capaz de expressar esses números...

  5. Isis disse:

    Sempre gostei de matemática, mas é tão "racional" que nao entra na minha cabeça! rs

  6. Igor Santos disse:

    Eu sou um engenheiro que nunca gostou de demonstrações.
    Isso faz de mim um nerd nível 1,5?
    Eu gosto de lógica, mas matemática pura dá uma dor na minha perna...

  7. Carlos Hotta disse:

    Acho muito legais estes seus textos que misturam matemática e lógica com filosofia!
    A propósito, saiu o resultado do sorteio do livro
    http://www.ediouro.com.br/as100maioresdescobertas/
    Veja em:
    http://lablogatorios.com.br/raiox/2008/10/18/e-os-ganhadores-dos-livros-foram/
    Valeu pela participação!

  8. Paula disse:

    hahahaha
    gostei banstante...
    mas... falando em coisas que fazem a cabeça doer de pensar, nada mais abstrato que os números imaginários, não é mesmo? Aliás, apesar de (ate onde me lembro) eles formarem um universo à parte nos conjuntos numericos, eles nao seviam p/ resolver umas equações que davam em números irracionais?
    sou bióloga e ate hoje nao sei em que contexto isso se insere na natureza...
    abraços!

  9. alzira alves disse:

    preciso de uma resposta.como posso utilizar raiz de dois (nacional) para medir um segmento finito.

  10. cretinas disse:

    Oi, Alzira! Não entendi direito a sua pergunta... Se vc quer saber como construir um segmento de reta que meça raiz de 2, é só desenhar um quadrado de lado 1 e traçar a diagonal -- essa diagonal mede raiz de 2.

  11. Na disse:

    aaai cara :O
    não entendi nada disso ai :S
    só me confundiu ,

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