Números imaginários e complexos

Num comentário à minha postagem sobre a raiz quadrada de dois, Paula pergunta sobre números imaginários, e para que servem. Acho que a questão merece uma postagem à parte, então ei-la aqui.
Bom, os números imaginários são definidos como os números que, elevados ao quadrado, são negativos. Como o quadrado de todo número real é positivo, aí está, por contraste, a origem do termo “imaginário”. Os números imaginários são apresentados como múltiplos de “i”, onde “i” representa a raiz quadrada de -1. Assim, por exemplo, (2i)2 é -4.
E para que isso serve? No início, os imaginários foram assimilados para a judar a resolver equações. Se estivermos limitados aos números reais, quando uma seqüência de cálculos chega à raiz quadrada de um número negativo é preciso parar e dizer que o problema não tem solução.
Mas alguns matemáticos, séculos atrás, se perguntaram o que aconteceria se simplesmente continuassem a trabalhar a equação, ignorando o fato de que a raiz negativa não existia e substituindo-a por um símbolo qualquer (que acabou sendo uniformizado como a letra “i”). Surpreendentemente, descobriu-se que em diversos casos s raízes negativas se anulavam (tipo, i – i = 0) e o problema acabava tendo uma bela solução real.
Em muitos casos, mas não em todos. Mesmo assim, aos poucos, os números imaginários foram deixando de ser vistos como uma ficção útil e acabaram assimilados à matemática.
Depois disso, vieram os números complexos, que são os que têm uma parte real e uma parte imaginária, tipo a + bi. Os números complexos têm inúmeras aplicações. Por exemplo:
As regras criadas para operar com eles, como (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (bi+di) servem como modelo para diversos fenômenos da natureza que ocorrem em pares — digamos, por exemplo, que as populações de machos e de fêmeas de uma espécie em uma região seja (m,f) e em outra, (m2,f2). A soma dos dois pares ocorre de forma igual à dos números complexos;
A representação geométrica dos números complexos no plano é um bom modelo para operações com vetores, quantidades que, além de tamanho, também têm direção e sentido;
E, graças ao matemático Leonhard Euler, foi estabelecida uma ligação entre números complexos e trigonometria (seno, cosseno, etc.) o que torma as operações com eles um jeito conveniente de fazer cálculos envolvendo fenômenos periódicos, com a propagação de ondas de rádio.
Finalmente, alguns modelos da relatividade geral são mais fáceis de administrar se a coordenada do tempo for tratada como um número imaginário.

Discussão - 5 comentários

  1. João Carlos disse:

    Finalmente, alguns modelos da relatividade geral são mais fáceis de administrar se a coordenada do tempo for tratada como um número imaginário.
    É… Só que apresenta o problema de aplicar uma rotação de 90º na “realidade”.

  2. Patola disse:

    Mas eu acho que a verdadeira questão aqui é a seguinte: seriam os números imaginários apenas uma invenção útil, ou teriam existência independente? As equações que apresentam como resposta números imaginários (ou complexos) têm algum sentido, uma equivalente concreta? Será que a presença deles na física moderna, nas equações da eletrônica e em outros lugares não sugere uma brecha para algo que ainda não conseguimos entender intuitivamente, seja porque a evolução não nos equipou apropriadamente pra isso, seja porque ainda não criamos um modelo consistente e compreensível? Acho que é a questão que você quis abordar desde o começo, mas só estou perguntando para deixá-la mais clara. É isso?

  3. cretinas disse:

    Eu diria que a questão da “existência independente” dos números (quais quer números, não apenas os imaginários ou complexos) dá muito pano para a manga.
    Em termos de filosofia da matemática, por exemplo, o velho Bertrand Russell defendia que só os números naturais (0,1,2,3…) podiam ser vistos como representando “coisas no mundo”, como maçãs ou carneiros. Todos os outros conjuntos de números seriam, sob esse ponto de vista, como abreviações de relações lógicas, abstratas. Nesse aspecto, conceitualmente, 2 não é igual a 2/1. “2” representa uma quantidade; “2/1”, uma relação entre quantidades, como “duas maças para cada carneiro”.
    A partir daí, então, eu diria que o número “i” não tem existência como um quantificador no mesmo sentido que 1,2 ou 3 (isto é, “i” não é um número natural: você nunca vai ver um cesto com “i” maçãs). Mas tem, sim, existência como um símbolo lógico — um modelo — que obedece a determinadas regras que também são obedecidas por coisas da natureza (como ondas de rádio), da mesma forma que o número 2/1 é um símbolo lógico que modela as coisas que são o dobro de outras coisas. Nesse aspecto, os números complexos e imaginários têm tanta existência independente quanto qualquer outro número.
    Talvez a questão mais intrigante envolvendo os números imaginários seja a tentativa de interpretar o que eles representam quando aparecem como soluções de equações de 2o ou 3o grau. Uma equação de 2o grau pode ser vista como uma tentativa de determinar o lado de um quadrado, assim como a de 3o grau, a aresta de um cubo. O que significa, então, um lado ou uma aresta imaginária?
    Outras dimensões?
    Preciso estudar mais a respeito…

  4. Igor Santos disse:

    Precisamos todos.
    Eu adoro este blogue, mesmo tendo que enfrentar a galopante dor de cabeça que acompanha o final de cada artigo.
    Mas isso pode ser apenas falta de estudo…

  5. Breno Ramires disse:

    Ola bem boa tarde
    sou o tipo ”professor saindo da forma”. estou terminando agora minha faculdade e estava precisando falar sobre os numeros complexos vejo que axei um otimo blog
    se possivel mande esse seu link para mim… desde de ja agradeço.

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