No terço final do século passado, quando fiz o primário (hoje é o quê, primeira série do ensino fundamental? ah, a terminologia…) a gente aprendia que os números cardinais são 1,2,3… e os ordinais são 1º, 2º, 3º… Nas provas, caíma coisas assim: “qual o ordinal de 70?” resposta: “septuagésimo”. 
Claro, a escola regular dedica-se mais à amplitude que à profundidade, e é bom que seja assim, e foi só muito depois que encontrei a diferença conceitual entre os cardinais e os ordinais. Basicamente, os números cardinais representam conjuntos (uma coisa, duas coisas, três coisas…) e os ordinais, progressão (isso vem depois daquilo que vem depois…).
Parece uma distinção besta, e o simples fato de o ser humano ser capaz de saltar de um conceito para o outro sem esforço — do “2” de “duas maçãs” para o “2” de “Felipe Massa é o número 2 do campeonato” — é uma prova do poder de abstração da mente humana. Porque, veja, quando se tenta passar logicamente, conscientemente e explicitamente de um conceito para o outro, o caminho é um tanto quanto pedregoso.
Afinal, o que justifica a idéia de que “três maçãs” vem depois de “duas maçãs”? O que depois significa nesse contexto? Qantidades em conjuntos dependem a passagem do tempo?
O fato é que tanto o conceito de número como expressão de quantidade quanto o conceito de número como expressão de ordem são necessários para a aritmética começar. E é curioso que vários povos da Antigüidade tenham privilegiado um aspecto dos números em detrimento do outro.
Os numerais romanos, por exemplo, são essencialmente quantitativos: I, II, III…: um palito, dois palitos, três palitos… Já os gregos e os hebreus preferiam a expressão ordinal: eles usavam as letras do alfabeto, em ordem, para simboliazr os números: a=1, b=2, c=3…
O fato de nenhuma dessas civilizações ter desenvolvido uma aritmética sofisticada mostra que uma distinção tão aguda entre ambos os aspectos não faz bem a ninguém.
Finalizando: Georg Cantor, ao propor os números transfinitos, propôs tanto os cardinais — alephs — quanto os ordinais — omegas.