Paradoxo de sexta (3)

O da semana passada foi morto e enterrado logo a sexta, mesmo: tratava-se, de fato, de um uso falacioso do princípio da indução matemática para generalizar um fato que, realmente, não funciona no caso de conjuntos com dois elementos. Vou ter que começar a pensar em coisas mais complicadas de agora em diante…
Bom, temo que o desta semana também vai cair rapidinho, mas ele é interessante o suficiente (em minha opinião, ao menos) para merecer ser mecionado. 
Começa assim:
0 = 0+0+0+0+0+0… ad infinitum
Mas, como 1-1 = 0 , dá para escrever a série acima da seguinte forma:
0 = (1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)…
Agora, soma e subtração têm o que os matemáticos chamam de propriedade associativa. Basicamente, numa seqüência de contas de mais e de menos, tipo a+b-c+d, tanto faz onde se colocam os parênteses: (a+b)+(-c+d), a+(b-c+d), a+(b-c)+d, etc., tudo isso dá o mesmo resultado  — se quiser, escolha quatro números à vontade e faça o teste.
Então, deslocando os parênteses uma casa para a direita, é possível escrever a seqüência acima como:
0 = 1+ (-1+1) + (-1+1) + (-1+1)…
Onde é evidente que todos os parênteses somam zero, logo podem ser eliminados deixando…
0 = 1.

Discussão - 14 comentários

  1. Andre disse:

    Só para saber, de onde surgiu esse “1” isolado?
    Cada “0” foi substituido por um par de “1” e “-1″… como esse “1” ficou sobrando, sem par?

  2. cretinas disse:

    Oi, Andre! pelo uso da propriedade associativa: eu “andei” com os parênteses uma casa pra direita.
    Imagine a seqüência
    (a-b)+(a-b)+(a-b). Dá pra redistribuir os parêntese assim:
    a-(b+a)+(-b+a)-b. No caso da seqüência infinta, no entanto, não é preciso sobrar um “b” no final, porque como há infinitos termos, sempre é possível “parear” o -1 “sobrante” com outro 1.

  3. arypires disse:

    negativo…..se voce desloca o parentese p direita então o “-1” que estava dentro do – quase último – parentese vai sair do mesmo, fica portanto isolado anulando o primeiro “1”

  4. d2e2ns disse:

    Seja S = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + …
    temos então:
    S = (1 – 1) + (1 – 1) + (1 – 1 +) … = 0.
    Temos também:
    S = 1 – [(1 – 1) + (1 – 1) + (1 – 1)… => S = 1 – 0 => S = 1.
    E ainda:
    S = 1 – (1 – 1 + 1 – 1 + 1 – …) => S = 1 – S => 2S = 1 => S = 1/2.
    Assim S = 0, S = 1 e S = 1/2.
    0 = 1 = 1/2 ?!?!?!
    A série numérica representada por S é divergente pois tem termo geral diferente de zero. Já vi em 1 livro de análise matemática que é possível manipular a série S para obtermos qualquer número.

  5. Silvio disse:

    Há um erro no primeiro exemplo: A+B-C+D não é igual a (A+B)-(C+D). O correto seria (A+B)+(-C+D).
    Muito boa essa coluna semanal.

  6. horusviana disse:

    Da mesma forma dá para “parear” o 1 “sobrante” da frente com -1 que você diz que não precisa aparecer…Fica evidente também que fazendo a associativa, estão representados sete algarismos “1”. Enquanto a primeira expressão possui 8 algarismos “1”. É???

  7. cretinas disse:

    Ops! Grato pela correção!

  8. cretinas disse:

    Mas o fato é que há <> algarismos 1. Vc acha que faz sentido perguntar se há um “número infinito par” ou “um número infinito ímpar”?

  9. Igor Santos disse:

    Eu estou convencido que zero é igual a um, que baixo é preto e que direita é rápido.
    E se o seis vir a ser um nove, eu não ligo.

  10. André disse:

    Lembrei de um paradoxo similar:
    Seja x=1+2+4+8+16+…
    Se o dobro de x é (2+4+8+16+32…), então conclui-se que x>2x (x é maior que o seu dobro)?

  11. Patola disse:

    Circulando, circulando, não há nada pra ver aqui! A razão é muito simples:
    No momento em que você lida com *infinito*, a sua aritmética tem que ser diferente. Infinito não é um número e segue regras diferentes — entre elas, 0 multiplicado por infinito é igual a INDETERMINADO. Assim, a primeira passagem está errada:
    0 = (1-1) + (1-1) + (1-1)…
    Isso não é verdade porque aí
    0 = (1-1) x
    0 = 0 x infinito
    0 =
    E é por isso que o “1” a mais que se obtém quando se desloca os parênteses causa a maior confusão.
    Lembrem-se: não mexam com , ele é rebelde e não obedece às mesmas regras que os outros…

  12. Patola disse:

    Coloquei entre <>, por isso saiu errado. Correção:
    0=(1-1)x(infinito)
    0=0 x (infinito)
    0 = (indeterminado)
    …não mexam com (infinito),…

  13. Ulisses Adirt disse:

    Tá… entendi o problema… só não consigo ver a solução com os comentários existentes.

  14. Gustavo Sueto disse:

    Realmente, não faz sentido dizer que há um “número infinito par” ou um “número infinito ímpar”, mas se você utilizar-se de uma pequena parte da expressão, já fica fácil de solucionar. Restringindo para 4 algarismos |1|, por exemplo, você já sabe aonde vai parar esse “-1” que falta, sendo que (1-1)+(1-1), com 4 algarismos, e com infinitos vão dar a mesma coisa, você não precisa fazer a conta com infinitos pra achar a lógica.

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