Paradoxo de sexta (3)
O da semana passada foi morto e enterrado logo a sexta, mesmo: tratava-se, de fato, de um uso falacioso do princípio da indução matemática para generalizar um fato que, realmente, não funciona no caso de conjuntos com dois elementos. Vou ter que começar a pensar em coisas mais complicadas de agora em diante…
Bom, temo que o desta semana também vai cair rapidinho, mas ele é interessante o suficiente (em minha opinião, ao menos) para merecer ser mecionado.
Começa assim:
0 = 0+0+0+0+0+0… ad infinitum
Mas, como 1-1 = 0 , dá para escrever a série acima da seguinte forma:
0 = (1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)…
Agora, soma e subtração têm o que os matemáticos chamam de propriedade associativa. Basicamente, numa seqüência de contas de mais e de menos, tipo a+b-c+d, tanto faz onde se colocam os parênteses: (a+b)+(-c+d), a+(b-c+d), a+(b-c)+d, etc., tudo isso dá o mesmo resultado — se quiser, escolha quatro números à vontade e faça o teste.
Então, deslocando os parênteses uma casa para a direita, é possível escrever a seqüência acima como:
0 = 1+ (-1+1) + (-1+1) + (-1+1)…
Onde é evidente que todos os parênteses somam zero, logo podem ser eliminados deixando…
0 = 1.
Discussão - 14 comentários
Só para saber, de onde surgiu esse "1" isolado?
Cada "0" foi substituido por um par de "1" e "-1"... como esse "1" ficou sobrando, sem par?
Oi, Andre! pelo uso da propriedade associativa: eu "andei" com os parênteses uma casa pra direita.
Imagine a seqüência
(a-b)+(a-b)+(a-b). Dá pra redistribuir os parêntese assim:
a-(b+a)+(-b+a)-b. No caso da seqüência infinta, no entanto, não é preciso sobrar um "b" no final, porque como há infinitos termos, sempre é possível "parear" o -1 "sobrante" com outro 1.
negativo.....se voce desloca o parentese p direita então o "-1" que estava dentro do - quase último - parentese vai sair do mesmo, fica portanto isolado anulando o primeiro "1"
Seja S = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ...
temos então:
S = (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1 +) ... = 0.
Temos também:
S = 1 - [(1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1)... => S = 1 - 0 => S = 1.
E ainda:
S = 1 - (1 - 1 + 1 - 1 + 1 - ...) => S = 1 - S => 2S = 1 => S = 1/2.
Assim S = 0, S = 1 e S = 1/2.
0 = 1 = 1/2 ?!?!?!
A série numérica representada por S é divergente pois tem termo geral diferente de zero. Já vi em 1 livro de análise matemática que é possível manipular a série S para obtermos qualquer número.
Há um erro no primeiro exemplo: A+B-C+D não é igual a (A+B)-(C+D). O correto seria (A+B)+(-C+D).
Muito boa essa coluna semanal.
Da mesma forma dá para "parear" o 1 "sobrante" da frente com -1 que você diz que não precisa aparecer...Fica evidente também que fazendo a associativa, estão representados sete algarismos "1". Enquanto a primeira expressão possui 8 algarismos "1". É???
Ops! Grato pela correção!
Mas o fato é que há <> algarismos 1. Vc acha que faz sentido perguntar se há um "número infinito par" ou "um número infinito ímpar"?
Eu estou convencido que zero é igual a um, que baixo é preto e que direita é rápido.
E se o seis vir a ser um nove, eu não ligo.
Lembrei de um paradoxo similar:
Seja x=1+2+4+8+16+...
Se o dobro de x é (2+4+8+16+32...), então conclui-se que x>2x (x é maior que o seu dobro)?
Circulando, circulando, não há nada pra ver aqui! A razão é muito simples:
No momento em que você lida com *infinito*, a sua aritmética tem que ser diferente. Infinito não é um número e segue regras diferentes --- entre elas, 0 multiplicado por infinito é igual a INDETERMINADO. Assim, a primeira passagem está errada:
0 = (1-1) + (1-1) + (1-1)...
Isso não é verdade porque aí
0 = (1-1) x
0 = 0 x infinito
0 =
E é por isso que o "1" a mais que se obtém quando se desloca os parênteses causa a maior confusão.
Lembrem-se: não mexam com , ele é rebelde e não obedece às mesmas regras que os outros...
Coloquei entre <>, por isso saiu errado. Correção:
0=(1-1)x(infinito)
0=0 x (infinito)
0 = (indeterminado)
...não mexam com (infinito),...
Tá... entendi o problema... só não consigo ver a solução com os comentários existentes.
Realmente, não faz sentido dizer que há um "número infinito par" ou um "número infinito ímpar", mas se você utilizar-se de uma pequena parte da expressão, já fica fácil de solucionar. Restringindo para 4 algarismos |1|, por exemplo, você já sabe aonde vai parar esse "-1" que falta, sendo que (1-1)+(1-1), com 4 algarismos, e com infinitos vão dar a mesma coisa, você não precisa fazer a conta com infinitos pra achar a lógica.