Paradoxo de sexta (5)

Quanto ao da semana passada: era, de fato, o Paradoxo de Richard, um problma clássico do início do século 20. A solução está no fato de que o enunciado começa falando em uma lista das “propriedades aritméticas” dos números, e depois define uma propriedade extra, “ser cretino”, que não é aritmética: logo, ela não tem como entrar na lista e, logo, não há como se produzir o paradoxo.
O Paradoxo de Richard é importante porque tem a mesma estrutura de um outro paradoxo, esse verídico, o de Russell. Uma paráfrase do paradoxo de Russell é o do barbeiro: imagine uma cidade onde nenhum homem usa barba, e cuja população masculina se divide em dois grupos, mutuamente excludentes: os que se barbeiam a si mesmos e os que são barbeados pelo barbeiro. A qual grupo pertence o barbeiro? 
Ok, esse paradoxo não tem solução. Então, vamos ao desta semana, que como sempre será falsídico — isto é, tem cara de paradoxo, mas não é.
Um jeito de imaginar o conceito de área é o de uma linha móvel. Imagine uma linha de dez centimetros de comprimento, no canto esquerdo da tela. Se você deslocá-la dez centímetros para a direita, ela terá coberto um quadrado de área 10×10 (Você pode imaginar que a linha deixa um rastro para trás, como se estivesse soltando tinta: esse rastro é o quadrado).  
Parece perfeitamente claro que a área do quadrado conterá mais pontos que a linha que a originou — na verdade, essa área pode ser descrita como um aglomerado infinto de linhas idênticas, colocadas lado a lado.
Agora, se chamarmos um lado horizontal do quadrado de eixo “x” e um lado vertical de “y”, cada ponto do interior da área quadrada poderá ser descrito por coordenadas, digamos, (1;2), (4;5), etc.
E os pontos da linha geratriz, que produziu o quadrado? Eles também podem ser numerados.  Na verdade, é possível criar uma correspondência exata entre os pontos da área e os da linha. Digamos que o ponto 1;2 do quadrado seja ligado ao ponto ), 1,2 da linha (que tem 10 cm, lembre-se). Que o ponto 4;5 seja ligado ao ponto 4,5; que o ponto 0,5;0,1 seja ligado ao ponto 0,501. Um a um, pode-se demonstrar que cada ponto da área correpnde a exatamente um ponto da linha.
Mas se é possível parear todos os elementos de dois conjuntos, sem que falte ou sbre nenhum, então, por definição, ambos os conjuntos têm o mesmo número de elementos. Logo, a área do quadrado não tem mais pontos que a linha. Como assim?

Discussão - 5 comentários

  1. Advogada Platinada disse:

    Aritmética cardinal é bela, não obstante nada intuitiva, quando se trata de conjuntos infinitos (aliás, em se tratando de conjuntos desta natureza, a intuição em geral não é boa parceira). Cantor, definitivamente, é melhor tutor!
    O “paradoxo” acima simplesmente evidencia que o produto de aleph-1 por aleph-1 resulta em aleph-1.

  2. Patola disse:

    Matemática desse nível eu mal me lembrava, tive apenas um pouco no meu curso de engenharia de computação. Mas foi divertido pesquisar sobre o aleph-1 citado pela Advogada — Advogada???????? — Platinada.
    Se interessar a alguém, o URL interessante que eu achei sobre isso foi esse (em inglês). Se alguém tiver outras referências, eu agradeceria. Passado o perrengue da faculdade, as coisas ficam mais agradáveis quando você lê sobre essas coisas como recreação.
    A única parte que estraga é a presença esotérica nessas bandas. O sujeitinho lá (preciso dizer quem?) acha que com verborragia inútil e palavreado pseudocientífico consegue transmitir alguma informação. Tsc. Cada vez mais fica evidente que é uma criança falando “gugu-dadá” em papo de adultos.
    OBS.: eu iria tentar solucionar esse paradoxo de certa maneira beeeeeem mais informal, mas a Advogada Platinada acabou com a brincadeira… haha. 😀

  3. Wilson Bidaclach disse:

    Kuá kuá kua… adoro navegar por esses blogs porque tem sempre alguma coisa engraçada!
    O Patola aê parece aquelas criancinhas mimadas que sentam no chão e esperneiam, quando percebem que outra pessoa deixou ela prá trás. Quer sempre ser a primeira.
    Ó o mote do site bem ali em cima, cara: “Não desrespeitamos pessoas, mas esculhambamos idéias”
    🙂

  4. sombriks disse:

    bom, que eu me lembre o domínio para contarmos os pontos imaginaŕios que formam uma linha e os pontos que formam o tal quadrado são contínuos, então tá tudo ok.

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