Paradoxo de sexta (21)
O da semana passada foi executado rapidamente: como vários comentaristas notaram, a expectativa de vida é uma média que computa várias “oportunidades” de morte que ocorrem ao longo dos anos, e quem “perde” as oportunidades da juventude (ter diarreia quando bebê, ser baleado fazendo serviço de olheiro para o narcotráfico aos 12 anos, estourar-se num racha de automóveis aos 16, por exemplo) ganha “anos extras”.
Hoje vou com mais um paradoxo da probabilidade. Uma regrinha prática muito útil do cálculo de probabilidades diz que basta substituir a conjunção “e” por um sinal de multiplicação e a conjunção “ou” por um sinal de adição para ter a expressão aritmética de uma probabilidade.
Por exemplo, qual a probabilidade de um lance de moeda dar cara ou coroa?
Fazendo as substituições:
p(Cara): 50%.
p(Coroa) 50%.
Ou: +
Assim: 50% + 50% = 100%. Claro: uma vez lançada, a moda dará cara OU coroa, 100% das vezes.
Agora: imagine, por exemplo, uma guerra onde cada piloto de avião que parte numa missão de bombardeio tem 80% de chance de voltar vivo para a base. A chance dele ser abatido, portanto, é de 20% em cada missão. Pela regra acima, a chance dele ser abatido, depois de uma série de missões, é de 20% (1o. voo) OU 20% (2o voo) OU 20%… fazendo a conta, dá para ver que é garantido que, se durar até lá, no quinto voo ele será morto, inevitavelmente, porque 20+20+20+20+20 + 100.
No entanto, muitos pilotos fazem seis, sete, até 20 voos sem sofrer danos ou ferimentos graves. Na verdade, a taxa de perda se aproxima de 90% só lá por volta do décimo voo. Como é possível?
Discussão - 8 comentários
Esses 20% correspondem à mortalidade da média dos pilotos por vôo. Na verdade, 20% dos pilotos morrem por vôo e não cada piloto tem 20% de chances de morrer.
Em cinco missões consecutivas, vamos imaginar que haja 100 pilotos iniciais.
Teremos 100 no início, 80 após o primeiro vôo, 64 após o segundo, 51, 41 e 33 pilotos após a quinta missão.
Se fizéssemos um gráfico, teríamos uma função logarítmica tendendo a zero, com uma longa cauda.
Esta série está muito interessante. A falta de habilidades da maioria das pessoas para lidar com números faz com que sejam paulatinamente enganadas em suas vidas financeiras e com que sejam manipuladas por estatísticas e/ou colocações empregadas de maneira retórica.
Esse tipo de raciocínio (e a demonstração desses "paradoxos") deveria ser ensinado na escola.
Chegaram antes!... (quem manda eu ser dorminhoco?... 😉 )
E não é só quanto a probabilidades. A maioria das pessoas tem dificuldade de visualizar porcentagens. Por exemplo, há pessoas que acreditam que, se receberem um desconto de R$ 30,00 em algo que custa R$ 130,00, estão tendo um desconto de 30%. (Ou que, após uma perda no poder aquisitivo de 10% no salário, um reajuste de 10% compensa...)
Isso aí não é bem um paradoxo né?? Mas tá valendo.
Na verdade ele não está "viajando a primeira vez OU a segunda vez OU a terceira...". Ele está "viajando a primeira vez E a segunda vez E a terceira...".
Só para complementar, vamos fazer um simples cálculo: qual a probabilidade de um piloto fazer 20 vôos sem morrer?
Seria probabilidade de ele sobreviver a primeira viagem E a segunda E a terceira E a quarta... ... E a vigésima.
P = p(1ª viagem vivo) * p(2ª viagem vivo) * p(3ª viagem vivo) * ... ... * p(20ª viagem vivo) = 0,8 * 0,8 * 0,8 * ... * 0,8 = 0,8 ^ 20 = 0,012 = 1,2% de chance de fazer 20 viagens e voltar vivo.
Quer ver um paradoxo de verdade? Guarda ae, saiu de uma conversa com amigos no bar:
"Se toda verdade é mentira, então o paradoxo é verdadeiro."
São eventos independentes : )
A forma de calcular a probabilidade do piloto morrer até o i-ésimo vôo dada por P'(M5) = P1(morte) + P2(morte) + ... + Pi(morte), neste caso pode ser abreviada para P'(M5) = i * 0,2. Essa fórmula P'(x) na verdade não é uma fórmula de probabilidade, por que probabilidades devem sempre estar no intervalo fechado [0,1], e P'(M6) = 1,2 (120%).
A morte é um "evento", assim como vôo é outro evento, e finalmente "morte até o 5 vôo" é outro evento. A morte até o 5 vôo precisa ser calculada levando em conta não só o evento morte em tal vôo, mas também o evento vôo. Deixa eu tentar desenhar:
Eu ia tentar fazer um desenho aqui, mas como a fonte não é de espaço fixo, fica díficil. Mas se quiser um desenho imagine 5 caixas, cada uma representa um vôo, a probabilidade de morte em cada caixa é 20%. A probabilidade de morte até o 5º vôo é um retangulo passando por cima de todas as caixas. Se eu escolher um pixel desse retangulo aleatóriamente qual é a probabilidade desse pixel ser um pixel "da morte"?
Continando, cada Vôo tem uma probabilidade de morte, e também uma probabilidade de acontecer. A probabilidade total é a soma da probabilidade dos vôos, mas tem que ser "pesada" para a probabilidade desses vôos.
Tentando ser mais claro, O Piloto tem 20% de chance de morrer em um vôo mas em cinco Vôos terá 1/5 de chance de morrer em cada vôo. A probabilidade total (morte até o 5º vôo) é a soma das probabilidades de morte em cada vôo proporcionais a chance de ocorrer naquela vôo.
Calculando:
P(M) = P(v1) * P(M | v1)
+ P(v2) * P(M | v2)
+ P(v3) * P(M | v3)
+ P(v4) * P(M | v4)
+ P(v5) * P(M | v5)
Onde:
P(M) : morte até o quinto vôo
P(vi) : probabilidade de acontecer o i-ésimo vôo, aqui é 1/5
P(M | vi) : probabilidade de morte no i-ésimo vôo, aqui é 0,2
Finalmente: P(M) = 1/5 * 0,2 +
1/5 * 0,2 +
1/5 * 0,2 +
1/5 * 0,2 +
1/5 * 0,2 = 5 * (0,2)^2 = 0,2
No meu último comentário, acabei não sendo muito construtivo em dizer como que o cálculo tava errado, vou tentar corrigir.
A probabilidade através da soma está errada pois se o piloto morrer digamos no 2º vôo, ele não poderá morrer nos demais vôos, afinal ela nem vai levantar vôo. Portanto não podemos somar as probabilidades por que as probabilidades ou seriam 20% ou seriam 0 (se o piloto morreu antes do vôo em questão). Aí que entra o calculo levando em conta a probabilidade do vôo que eu expliquei no último comentário.
Legal esse desafio.
Isso me lembra de um paradoxo para o qual não sei a resposta, vc poderia publicá-lo aqui.
Trata-se de uma probabilidade de ganhar na loteria duas vezes. Digamos que a probabilidade de ganhar na loto seja de 1%.
Ok, quando alguém ganha suas probabilidades de ganhar novamente são menores certo? 0,01*0,01 = 0,0001 ou 0,01%.
Mas, quando voce compra o bilhete o jogo é um novo jogo, e não tem memória sobre os jogos anteriores, logo sua probabilidade de vitória é novamente de 1%.
E então, qual a chance de ganhar a segunda vez na loto? 1% ou 0,01%? Alguém tem a resposta?
Leonardo,
seu problema é muito parecido, em essência, com o paradoxo da semana... por isso, vou tratar dele na próxima sexta também!!