Fazendo troco

O táxi da rodoviária até minha casa fica em R$ 11, o que é um valor bem desajeitado, dada a falta de vocação do brasileiro para lidar com moedas e o fato de a menor nota de real que se encontra com facilidade por aí ser a de R$ 2 (grato ao Roberto Takata pela correção — confira no primeiro comentário abaixo). O que geralmente faço é pagar R$ 15 e receber R$ 4 (duas notas de dois) de troco.
Em linhas gerais, a forma mais eficiente de se fazer troco costuma ser (nem sempre é; isto é uma algoritmo heurístico, não um teorema) dar o máximo de notas (ou moedas) da denominação mais alta possível abaixo do valor a trocar, depois o máximo de notas ou moedas da denominação imediatamente inferior, e assim por diante.
Seguindo essa técnica, às vezes chamada de “método ganancioso”, a melhor forma de se fazer um troco de R$ 0,95 (o maior valor que se pode obter com moedas baixo de R$ 1, já que o real aboliu a moeda de R$ 0,01) é com uma moeda de 50 centavos, uma de 25 e duas de dez — quatro moedas. Isso faz com que o tamanho do troco médio em reais seja de 2,5 moedas (4 moedas do maior troco, mais 1 moeda do menor, que é R$ 0,05, dividido por dois).
Esse é um número menor que as médias da maioria das moedas que, como nós, também usam o sistema decimal. O dólar, o euro e a libra esterlina atual requerem um troco médio de cerca de 4 moedas. Mas, até aí, todos eles têm a moeda correspondente a 1 centavo, e o maior troco possível não é 95 centavos, e sim 99.
Em notas, no entanto, é possível fazer R$ 99. Pelo método ganancioso, é preciso usar uma nota de 50, duas de 20, uma de 5 e duas de 2 — seis notas, média de 3,5, mais próxima da internacional.
Já a quantia média de notas e moedas para se obter qualquer valor entre 5 centavos de real e R$ 99,95 é de 5,5. Uma questão interessante é tentar descobrir se a substituição de uma das denominações existentes por uma outra (digamos, a nota de R$ 20 por uma de R$ 25, ou a moeda de 10 centavos pela de 20 centavos ) não poderia gerar um resultado ainda mais eficiente.

Discussão - 2 comentários

  1. “o fato de a menor nota de real ser a de R$ 2”
    Na verdade, a nota de menor valor é de R$ 1,00.
    http://www.bcb.gov.br/?CEDCOMUM
    Corresponde a 5% das notas (em número de notas, não de valor) circulante.
    A de R$ 2 é a de menor valor entre as que ainda estão sendo produzidas.
    []s,
    Roberto Takata

  2. Aí você está considerando que sejam equiprováveis qualquer valor múltiplo de centavo em um dado intervalo.
    Um efeito possível na disponibilidade de moedas de certos valores é alterar o *preço* dos produtos. Se faltam moedas de centavos, a tendência é o arredondamento dos preços.
    []s,
    Roberto Takata

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