Provas de inexistência

Quando uma pessoa atinge um certo grau de sofisticação filosófica, ela se convence de que é impossível provar que alguma coisa não existe. Quando essa sofisticação aumenta um pouco mais, ela se convence de que estava errada.
Em primeiro lugar, porque a pr√≥pria senten√ßa “√© imposs√≠vel provar que alguma coisa n√£o existe” √© uma afirma√ß√£o de inexist√™ncia — no caso, de que n√£o existe prova de que alguma coisa n√£o existe. E, se n√£o existe prova, em que essa afirma√ß√£o se baseia?
Em segundo lugar, porque toda afirmação é a negação de uma negação: afirmar que a atmosfera atual do planeta Terra contém oxigênio é o mesmo que dizer que não existe algo que (a) seja atmosfera atual do planeta Terra e que (b) não contenha oxigênio.
Em terceiro, provas de inexist√™ncia abundam: na postagem anterior, mostrei uma prova de que n√£o existe um n√ļmero racional que seja a raiz quadrada de 2; tamb√©m h√° provas de que n√£o existe um m√©todo para dividir um √Ęngulo em tr√™s partes iguais usando apenas uma r√©gua n√£o-graduada e compasso; de que n√£o existe uma f√≥rmula gen√©rica para resolver equa√ß√Ķes de grau cinco (ou maior) e, claro, a prova do √öltimo Teorema de Fermat demonstra que √© imposs√≠vel encontrar um valor de “x”, maior que 2, que satisfa√ßa a equa√ß√£o ax+bx=cx .
Todos os exemplos que citei acima v√™m da l√≥gica e da matem√°tica, as chamadas ci√™ncias dedutivas — que progridem atrav√©s da manipula√ß√£o sistem√°tica de s√≠mbolos e defini√ß√Ķes.¬†Algu√©m poderia argumentar que a impossibilidade de se provar inexist√™ncias se aplica, na verdade, √†s ci√™ncias indutivas, as que progridem a partir da observa√ß√£o sistem√°tica da natureza.¬†
Mas √© importante notar que, ao mesmo tempo em que esse argumento invoca uma distin√ß√£o entre dois dom√≠nios da ci√™ncia, ele tenta impor um conceito particular de prova¬†— o dedutivo — ao dom√≠nio indutivo.
Bolas, se h√° h√° tipos diferentes de ci√™ncia, ent√£o h√° que se aceitar que existem tamb√©m tipos diferentes de prova. A id√©ia de que s√≥ as provas dedutivas s√£o v√°lidas √© um preconceito, possivelmente vindo da filosofia — j√° que o exerc√≠cio filos√≥fico √© principalmente dedutivo.
Pode-se argumentar que uma prova indutiva oferece menos certeza que uma dedutiva; mas a indu√ß√£o ainda assim √© capaz de gerar prova al√©m da d√ļvida razo√°vel.¬†Por exemplo, as leis da f√≠sica provam, al√©m de qualquer tipo de d√ļvida razo√°vel, que o Sol n√£o explodir√° amanh√£. Minha experi√™ncia pessola demonstra, al√©m de qalquer d√ļvida razo√°vel, que n√£o serei devorado pelo Grande Crocodilo do Nilo esta noite.
Al√©m disso, as leis da probabilidade mostram que √© poss√≠vel acumular um volume de observa√ß√Ķes grande o suficiente para gerar qualquer grau de certeza que se queira, ainda que abaixo de 100%.¬†
Provas al√©m da d√ļvida razo√°vel podem se mostrar erradas? Sim. Mas elas s√£o boas o suficiente — t√™m de ser — para guiar as decis√Ķes humanas. A alternativa √© um estado permanente de paralisia e indecis√£o, um agnosticismo universal e intoler√°vel.

Raiz quadrada de dois √© n√ļmero irracional

Quando surgiu a id√©ia da blogagem coletiva sobre descobertas cient√≠ficas, a que primeiro me ocorreu como mais legal de todas foi a de que h√° precursores de DNA e RNA no espa√ßo — mas em seguida me lembrei de outra, envolta em s√©culos de intriga, segredo e mist√©rio: a de que √© imposs√≠vel expressar certos n√ļmeros (como a raiz quadrada de 2) sob a forma de fra√ß√£o.
S√≥ afirmar que os n√ļmeros irracionais foram “descobertos” abre espa√ßo para uma ampla discuss√£o filos√≥fica, a saber, se os matem√°ticos descobrem ou inventam as verdades matem√°ticas.
Sem a menor pretens√£o de resolver o debate milenar sobre o platonsimo na matem√°tica, eu diria que as verdades matem√°ticas existem n√£o no mundo das id√©ias e nem na mente dos matem√°ticos, mas l√° fora, ¬†no Universo: cada teorema √© testado um n√ļmero infinito de vezes nas in√ļmeras (infinitas?) confugura√ß√Ķes de mat√©ria, tempo e espa√ßo.¬†
Bom, voltando aos n√ļmeros irracionais: durante s√©culos, os pitag√≥ricos defenderam a id√©ia de que tudo no universo podia ser expresso por n√ļmero e harmonia (“n√ļmero” sendo n√ļmeros inteiros e “harmonia”, propor√ß√Ķes entre n√ļmeros inteiros). Trata-se do caso t√≠pico de uma boa id√©ia levada longe demais: muita coisa pode ser expressa dessa forma, mas tudo j√° era um exagero.
O fato, por√©m, √© que os pitag√≥ricos tinham evid√™ncia de que essa id√©ia era furada: a prova secreta de que a raiz quadrada de dois (ou, mais propriamente, o comprimento da hipotenusa de um tri√Ęngulo ret√Ęngulo com catetos de comprimento unit√°rio) n√£o era um n√ļmero inteiro e n√£o podia ser expressada como raz√£o entre n√ļmeros inteiros.
E o que ele fizeram com a evidência? O que todo grupo humano que se exime da crítica externa faz: tentaram suprimi-la. Há lendas de assassinatos cometidos para impedir que O Segredo escapasse.
A prova da irracionalidade da raiz quadrada de dois √© de uma simplicidade cristalina — sempre que a vejo, quase me faz chorar. Encerro a postagem com ela:
Suponha que a raiz quadrada de 2 √© racional. Ent√£o, h√° dois n√ļmeros, a e b, tais que:
(a2/b2)=2
Vamos supor, tamb√©m, que a e b n√£o t√™m fatores em comum — isto √©, que a fra√ß√£o a/b, nossa hipot√©tica raiz quadrada racional de 2, j√° est√° simplificada ao m√°ximo.¬†
Prosseguindo:
a2=2b2
Da√≠ podemos concluir que “a2” √© um n√ļmero par, j√° que √© o dobro de outro n√ļmero, b2. Tamb√©m d√° para concluir que “a” √© par e “b”, √≠mpar — porque, primeiro, s√≥ n√ļmeros pares d√£o origem a quadrados pares; e, segundo, “b” tem que ser √≠mpar, sen√£o ainda seria poss√≠vel simplificar a fra√ß√£o “a/b” pelo menos mais uma vez, dividindo numerador e denominador por 2.
Mas, se “a” √© par, ele √© o dobro de um outro n√ļmero, f. Assim, d√° para trocar “a2” por “4k” — sendo 4k a forma gen√©rica de um n√ļmero par gen√©rico (2f) elevado ao quadrado: 4k = 22xf2, sendo¬†k=f2.
A fração original, então, torna-se:
(4k/b2)=2
Da onde:
4k = 2b2
Simplificando:
2k = b2.
Ent√£o, “b2” √© um n√ļmero par. Mas… “b2” tem que ser √≠mpar , como conclu√≠mos l√° em cima! Logo, a id√©ia de a/b √© uma raz√£o de n√ļmeros inteiros leva a uma contradi√ß√£o. Logo…
(Ei! o que esses caras de toga com adagas est√£o fazendo aqui?)

As probabilidades da santidade

Outubro é um mês especialmente rico em festas religiosas, como o Sírio Círio de Nazaré e a festa de Aparecida.  Além disso, o noticiário dá conta de que Bento XVI proclamou quatro novos santos no domingo.
Geralmente a mídia faz muita arrelia em torno do fato de que são necessários dois milagres para uma canonização, mas é difícil encontrar uma análise crítica do que isso significa.
Em linhas gerais, um “milagre”, nesse sentido,¬†√© um evento m√©dico “inexplic√°vel” — como uma cura ou uma gravidez — ocorrido em benef√≠cio de algu√©m que tenha rezado fervorosamente para o candidato a santo (ou, o que d√° quase no mesmo, que tenha sido alvo de ora√ß√Ķes de devotos fervorosos do candidato a santo).
√Ä parte o que¬†h√° de subjetivo na defini√ß√£o de¬†“inexplic√°vel”, essa quest√£o das ora√ß√Ķes transforma a beatifica√ß√£o/canoniza√ß√£o¬†de algu√©m numa mera quest√£o de popularidade e probabilidade: se o candidato √© popular o suficiente, multid√Ķes dirigir√£o suas ora√ß√Ķes a ele; quanto maior a multid√£o, maior a chance de, por puro acaso, algu√©m receber uma “gra√ßa milagrosa”, seja a remiss√£o espont√Ęnea de um c√Ęncer ou uma gravidez ap√≥s seguidos diagn√≥sticos contr√°rios.
Seria interessante, até, fazer um experimento controlado nesse sentido: inventar um santo historicamente impossível (Santo Onitrec, o missionário inca que caiu numa dobra espaço-temporal e pregou o Evangelho aos Neandertais da Península Ibérica) e começar a pedir às pessoas que rezem para ele em momentos de aflição.
Quantos voluntários serão necessários para surgir a primeira graça? Eu chutaria algo em torno de 100, mas é só um palpite.

Tubar√Ķes tentam gerar seu messias

Pela segunda vez, um tubar√£o f√™mea em cativeiro produziu um filhote por partenog√™nese. Infelizmente, ¬†a m√£e moreu antes de dar o tubar√£ozinho √† luz. Segundo os cientistas, no primeiro caso, o filhote foi devorado por outros tubar√Ķes no mesmo tanque.
Isso provavelmente significa que o Jeov√° dos Tubar√Ķes est√° tendo problemas para fazer com que o jovem messias sobreviva ao equivalente aqu√°tico do massacre dos inocentes. Mas √© prov√°vel qe continue tentando: afinal, seu povo eleito est√° em s√©rias dificuldades.

Desastres do Photoshop

Tem teve a experi√™ncia √ļnica de estudar comunica√ß√£o social no Brasil nos anos 80/90 certamente foi exposto a um pesad√≠ssimo bombardeio de doutrina√ß√£o p√≥s-modernista — como tudo que √© s√≥lido desmacha no ar, como a m√≠dia transforma a realidade em qualquer coisa (e vice-versa), como passou a ser imposs√≠vel fazer sentido (agora, pense bem: um cara escreve um livro para tentar demostrar que √© imposs√≠vel fazer sentido. Tem de ser humor involunt√°rio. Digo, se ele est√° certo, why bother?)
O Sokal Hoax fez um bom trabalho para desinflar esse balão, mas há outras formas, além da crise dos  mercados globais e do colapso dos ecossistemas, de ver que a realidade tem o irritante hábito de continuar real, não importa quantas camadas de mistificação cientistas sociais preguiçosos resolvam jogar por cima. Uma bem divertida é esta aqui, o Photoshop Disasters. 
Ou: o universo é consistente; a manipulação humana, não. Como bem mostra este umbigo ausente.

√Č poss√≠vel concluir qualquer coisa… (2)

Continuando a postagem de anteontem, vamos ver porque os l√≥gicos consideram que uma contradi√ß√£o “explode” o discurso — e o termo t√©cnico √© esse mesmo, “explos√£o” — permitindo que sejam admitidas como verdadeiras quaisquer senten√ßas, por mais absurdas que sejam.
A primeira raz√£o, intuitiva, √© a de que a contradi√ß√£o acaba com a possibilidade de uma argumenta√ß√£o honesta: n√£o √© correto defender e atacar um mesmo ponto de vista, ainda que essa seja uma manobra confort√°vel, j√° que, n√£o importa o resultado, voc√™ ter√° vencido a discuss√£o.¬†¬†Tamb√©m n√£o vale aquele papo de “concordo com voc√™, mas n√£o exatamente…”. Se esse √© o caso, ent√£o diga primeiro COM O QU√ä exatamente voc√™ concorda, ora bolas, e depois conversamos.
A segunda raz√£o, t√©cnica, tem a ver com a manobra l√≥gica da disjun√ß√£o. Ela √© representada pela conjun√ß√£o “ou”, e d√° forma a senten√ßas do tipo: “O PT ou o PSDB governar√° o Brasil a partir de 2010”. Essa afirma√ß√£o √© uma disjun√ß√£o, e √© verdadeira se o PT, o PSDB ou ambos formarem o pr√≥ximo governo brasileiro (existe outro uso do “ou”, o “ou excludente”, que forma senten√ßas como “Marcelo ou Cl√°udio casar√° com Vilma”, onde para um dos lados do “ou” ser verdadeiro o outro tem de ser falso, mas n√£o √© disso que estamos tratando no momento).
Então: para uma disjunção ser verdadeira, basta que um dos lados seja verdadeiro. O outro pode ser uma abobrinha qualquer. O Brasil fica no hemisfério sul ou Santos Dumont era marciano é verdade porque a parte sobre o Brasil é. 
Agora, vamos admitir uma contradição. Digamos: Elvis está vivo e Elvis está morto. Onde isso nos leva?
(1) Elvis est√° vivo e Elvis est√° morto (premissa dada como verdadeira)
(2) Elvis est√° morto (verdade)
(3) Elvis está morto ou a Terra é plana (verdade, por disjunção)
At√© a√≠, tudo bem. Mas agora a contradi√ß√£o volta para nos assombrar…
Elvis está vivo (verdade, porque admitimos a sentença (1))
S√≥ que tamb√©m sabemos que…
Elvis está morto ou a Terra é plana (admitido como verdade na sentença 3)
Logo, 
A Terra é plana.
As chamadas l√≥gicas paraconsistentes tentam domar esse problema, criando pequenos dom√≠nios onde contradi√ß√Ķes n√£o levam necessariamente a uma explos√£o de conclus√Ķes absurdas. Uma possibilidade √© admitir que, em vez de verdadeiro e falso (simbolizados por 1 ou 0) os valores das senten√ßas possam ser tamb√©m fra√ß√Ķes — nesse caso, o valor final da conclus√£o de uma seq√ľ√™ncia de argumentos seria, por exemplo, igual ao valor do argumento mais fraco da s√©rie, num tipo de refer√™ncia semelhante (mas n√£o necessariamente id√™ntico) ao que se usa para quantificar probabilidades.¬†
Mas na minha opinião, pelo menos, toda afirmação, desde que propriamente formulada, é ou verdadeira ou falsa. Uma idéia que parece estar entre zero e um é apenas uma idéia que não foi expressada com clareza suficiente. Logo, o princípio da explosão, embora possa ser temporariamente afastado, na verdade nunca  desaparece de vez.

Vacina e teoria dos jogos

Cada vez menos fam√≠lias das “zelites” de que tanto fala (falava?) nosso Amado L√≠der vacinam seus filhos, diz reportagem da semana passada do Estad√£o. Isso se deve, em parte, a duas das grandes supersti√ß√Ķes “intelectuais” de nossa √©poca: a homeopatia (o que √© at√© engra√ßado, porque a vacina √© talvez o √ļnico caso em que algo como simila similibus curantur √© algo al√©m que uma frase de efeito) e a id√©ia tosca de que todas as doen√ßas s√£o “psicossom√°ticas” — que uma pessoa “bem consigo mesma” √© virtualmente √† prova de balas.
Mas eu acho que exsite uma outra chave para interpretar a queda na cobertura vacinal: teoria dos jogos. ¬†Basicamente, os n√£o-vacinantes s√£o o que, nessa teoria, chamam-se de desertores — pessoas que colhem o benef√≠cio de um esfor√ßo coletivo sem contribuir para constru√≠-lo.
Um modelo clássico, muito estudado, é um jogo onde cada participante recebe uma verba simbólica (digamos, US$ 2) é convidado a contribuir com uma parte disso para um fundo comum; em seguida, esse fundo é multiplicado por dois (por exemplo) e o produto redistribuído entre os participantes, independentemente da contribuição de cada um.
Os desertores, que inevitavelemente surgem nesses cen√°rios, s√£o pessoas que ou contribuem muito abaixo da m√©dia do grupo ou, mais espertamente ainda, n√£o contribuem nada. √Č claro que um grupom√©dio ou grande de pessoas pode arcar com um ou dois desses tipos e ainda assim gerar benef√≠cios para quem contribui, mas:
(1) a deser√ß√£o √© contagiosa: uma vez estabelecido o exemplo — de que √© poss√≠vel desertar e se dar bem — colaboradores come√ßam a se converter em desertores;
(2) por causa de (1), logo é atingido um ponto crítico a partir do qual o sistema entra em colapso e ninguém mais recebe benefício nenhum. 
A solu√ß√£o cl√°ssica para o dilema √© criar um mecanismo de puni√ß√£o, para manter os espertinhos na linha. ¬†A quest√£o com a vacina √© o que poderia ser uma puni√ß√£o que n√£o acabe sendo pior que o soneto — e antes que o ponto cr√≠tico seja atingido.

√Č poss√≠vel concluir qualquer coisa… (1)

Neste dia de ressaca c√≠vica — e, para as cidades onde haver√° segundo turno, de expectativa eleitoral — √© interessante lembrar um princ√≠pio da l√≥gica que parece contra-intuitivo, mas que √© de muita valia para a ret√≥rica partid√°ria:
A partir de uma premissa falsa ou de uma contradição, pode-se concluir qualquer coisa.
Quando o professor Luiz Barco contou essa l√° no meu velho semestre de l√≥gica da USP, fiquei meio encasquetado… E o curso do professor Barco era curto, ent√£o n√£o deu para ir a fundo. Anos depois, no entanto, descobri o mecanismo por tr√°s das duas partes dessa afirma√ß√£o.¬†
A premissa falsa¬†funciona por conta da implica√ß√£o material, que √© s√≥ um nome chique para a seguinte estrutura de pensamento: “se isso, ent√£o aquilo”, ou “haver isso √© suficiente para que haja aquilo”, ou “Se A, ent√£o B”. Se voc√™ parar para pensar com calma no assunto, vai ver que s√≥ h√° um caso em que √© poss√≠vel garantir que uma implica√ß√£o √© falsa:
Quando A ocorre, mas B, não. Note que a falsidade da implicação depende da veracidade do termo A. Se eu digo que tomar manga com leite mata, mas uma pessoa toma manga com leite (tornando verdadeiro o termo A) e não morre (tornando falso B), minha implicação está provada falsa. 
Se “A” for falso, a implica√ß√£o torna-se, do ponto de vista da l√≥gica formal, verdadeira por “default”.
Isso provavelmente soou estranho. Claro que l√≥gica formal n√£o √© o discurso do dia-a-dia, e ningu√©m vai engolir implica√ß√Ķes como a¬†(formalmente verdadeira, porque ambos os termos s√£o falsos) “Se Einstein era uma drag queen, a Terra √© quadrada” ou (tamb√©m formalmente verdadeira, porque tem os dois termos verdadeiros) “Se Paulo Maulf descende de libaneses, a velocidade da luz √© constante no v√°cuo”) como “verdadeiras” no sentido usual.
Mas o fato, importante para fins ret√≥ricos, √© que implica√ß√Ķes com premissas falsas s√£o virtualmente indecid√≠veis, porque √© perfeitamente poss√≠vel ter B sem A (“se chover a rua estar√° molhada” — mas a rua pode molhar-se mesmo se n√£o chover; por exemplo, algu√©m pode ter lavado a cal√ßada); e √© poss√≠vel n√£o ter A e nem B, e ainda assim a implica√ß√£o soar razo√°vel¬†(“se chover a rua estar√° molhada”: n√£o choveu, a rua est√° seca, pronto).
Resumindo: no discurso informal, uma premissa falsa abre espa√ßo para tergiversa√ß√Ķes potencialmente intermin√°veis.
O exemplo cl√°ssico do dano causado pela premissa falsa √© o famoso “Se 2+2=5, ent√£o eu sou o papa”.
Suponhamos que 2+2=5; manipulando a equação, chegamos a 2=3, ou que equivale a 1+1=3.  Subraindo 1 de cada lado, temos 2=1. Eu e o papa somos dois, portanto somos um. Logo, eu sou o papa.
E essa postagem já ficou um pouco longa demais, então eu guardo a contradição para outro dia.

Superstição e religião na Science

A Science desta semana traz dois artigos interessantes sobre psicologia e antropologia: um é uma revisão de estudos sobre o papel social da religião; outro, um trabalho sobre que tipo de situação torna as pessoas mais supersticiosas.
O trabalho sobre religi√£o √© necessariamente gen√©rico, tratando-se, como se trata, de uma avalia√ß√£o de diversos estudos anteriores, mas chega a algumas conclus√Ķes interessantes:
(1) religi√£o √© um fator de coes√£o social e de est√≠mulo ao altru√≠smo, mas esse est√≠mulo tende a ser mais forte para “dentro do grupo” de fi√©is, e muitas vezes se d√° √†s custas de grupos externos;
(2) esses efeitos se mant√™m quando o est√≠mulo religioso √© substitu√≠do por est√≠mulos de natureza secular (num experimento, a substitui√ß√£o de “Deus” por uma autoridade civil, na formula√ß√£o do teste, n√£o reduziu o comportamento pr√≥-social dos participantes);
(3) os efeitos sociais da religi√£o tendem a ser mediados po uma esp√©cie de “mercado” de reputa√ß√Ķes — o que v√£o pensar de mim l√° na congrega√ß√£o se eu fizer isso ou aquilo (o fen√īmeno “sepulcros caiados”, digamos).¬†
Claro, nada disso diz se esta ou aquela religi√£o √© verdadeira ou falsa, mas esses resultados enfraquecem a velha linha de argumenta√ß√£o pr√≥-religiosa utilitarista (“Se Deus n√£o existe, tudo √© permitido”; “Se Deus n√£o existisse, seria preciso invent√°-lo”, etc.). √Č s√≥ ter pol√≠cia eficiente e incentivar a valoriza√ß√£o das reputa√ß√Ķes que os benef√≠cios s√£o os mesmos, e sem o incenso fedido.
O segundo estudo mostra que as pessoas tendem a ver padr√Ķes em imagens geradas a partir de ru√≠do, a acatar supersti√ß√Ķes e a aceitar teorias da conspira√ß√£o quando se sentem sem controle da situa√ß√£o — por exemplo, quando recebem notas aleat√≥rias numa prova . Parece um resultado √≥bvio, mas os pesquisadores precisaram de seis experimentos engenhosos para obt√™-lo, al√©m de gastar uma grana recrutando estudantes para atuar como volunt√°rios.
(Aliás, este é um pequeno dilema metodológico da psicologia experimental: afinal, seus resultados têm aplicação universal ou só valem pra priemiranistas de psicologia? ;-))

Junte-se ao WETI!

Um grupo internacional de astr√īnomos lan√ßou o movimento WETI: Wait for Extraterrestrial Intelligence, ou Espere pela Intelig√™ncia Extraterrestre.¬†
Como diz a FAQ do grupo, esperar tem a vantagem de custar pouco, ajuda a cultivar a pici√™ncia e todos os extraterrestres bonzinhos sempre descobrem quem espera — geralmente s√£o os malvados que reagem a sinais enviados ao espa√ßo.
E, a melhor de todas:

What happens if extraterrestrial beings do eventually find us?

The first thing to do is to let them confirm that we are truly extraterrestrial (to them). We may be a figment of their imagination, an elaborate hoax, or just a bad dream. Once they have confirmed that we exist, they will probably know what to do.
 
(O Mori deu primeiro, √© verdade…¬† mas juro que tinha visto o site do WETI antes de ver a postagem dele. Bom, tomar furo de colega n√£o √© t√£o mal…)

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