Eis por que jamais serei um matemático: foi so depois de fazer corpo mole no trabalho para desenhar uma tabela com todos os 36 resultados possíveis de um jogo de par ou impar onde cada jogador usa só uma mão ( detalhes nos comentarios do post anterior) que me ocorreu uma solução infinitamente mais simples.
Bolas, a soma de dois números pares ou de dois ímpares sempre e par. A soma de um par com um ímpar e o único modo de produzir outro ímpar.
Daí, generalizando: p+p=p; p+i=i; i+i=p.
Então, se você põe par, a chance do resultado ser par e 50% – se o outro cara puser par também – e 50% de ser ímpar, se ele puser ímpar. A situação inversa e perfeitamente simétrica!
Talvez os praticantes do par ou ímpar tenham uma compreensao intuitiva disso, e portanto quase sempre só usem 1 ou 2. Moral: não importa o número usado, só se ele e par ou ímpar!
Pensar que vivi todos esses anos sem pensar nisso…

A forma mais sincera de admiração é o plágio, diz o provérbio. Então, para mostrar minha admiração pelos enigmas de sexta-feira do co-lablogatorista Rainha Vermelha, resolvi estabelecer o “Paradoxo da Sexta-Feira”. Se eu realmente conseguir levar isso adiante, toda sexta vou apresentar aqui um paradoxo falsídico e deixar a solução em aberto para os leitores.
Ah, sim: na definição do filósofo W.V. Quine (que conquistou minha imorredoura admiração como um dos signatários de um manifesto denunciando Jacques Derrida por picaretagem), um paradoxo poder ser “verídico”, isto é, revelar uma contradição real entre os conceitos empregados, ou “falsídico”, algo que só parece paradoxal por conta de uma pegadinha.
Vamos começar com um pequeno clássicodo falsidismo, o Paradoxo do Garçom.
Três amigos vão a um bar, tomam umas cervejas e pedem a conta, que totaliza R$ 11 (a cerveja era vagabunda). Cada um põe uma nota de R$ 5 na mesa. O garçom pega os R$ 15 e leva para o caixa, que faz o troco, R$ 4. O garçom volta com o troco para a mesa e os três amigos, bêbados demais para discutir a divisão de 4 por 3, pegam um real cada um e deixam R$ 1 na mesa, como uma gorjeta extra para o garçom, que era muito simpático.
Agora: cada amigo deu R$ 5 e recebeu R$ 1 de troco, para uma contribuição líquida de R$ 4, num total, da mesa, de R$ 12. Mais o R$ 1 do garçom, isso dá R$ 13. Onde foram parar os outros R$ 2?
Cartas para a redação…

No terço final do século passado, quando fiz o primário (hoje é o quê, primeira série do ensino fundamental? ah, a terminologia…) a gente aprendia que os números cardinais são 1,2,3… e os ordinais são 1º, 2º, 3º… Nas provas, caíma coisas assim: “qual o ordinal de 70?” resposta: “septuagésimo”. 
Claro, a escola regular dedica-se mais à amplitude que à profundidade, e é bom que seja assim, e foi só muito depois que encontrei a diferença conceitual entre os cardinais e os ordinais. Basicamente, os números cardinais representam conjuntos (uma coisa, duas coisas, três coisas…) e os ordinais, progressão (isso vem depois daquilo que vem depois…).
Parece uma distinção besta, e o simples fato de o ser humano ser capaz de saltar de um conceito para o outro sem esforço — do “2” de “duas maçãs” para o “2” de “Felipe Massa é o número 2 do campeonato” — é uma prova do poder de abstração da mente humana. Porque, veja, quando se tenta passar logicamente, conscientemente e explicitamente de um conceito para o outro, o caminho é um tanto quanto pedregoso.
Afinal, o que justifica a idéia de que “três maçãs” vem depois de “duas maçãs”? O que depois significa nesse contexto? Qantidades em conjuntos dependem a passagem do tempo?
O fato é que tanto o conceito de número como expressão de quantidade quanto o conceito de número como expressão de ordem são necessários para a aritmética começar. E é curioso que vários povos da Antigüidade tenham privilegiado um aspecto dos números em detrimento do outro.
Os numerais romanos, por exemplo, são essencialmente quantitativos: I, II, III…: um palito, dois palitos, três palitos… Já os gregos e os hebreus preferiam a expressão ordinal: eles usavam as letras do alfabeto, em ordem, para simboliazr os números: a=1, b=2, c=3…
O fato de nenhuma dessas civilizações ter desenvolvido uma aritmética sofisticada mostra que uma distinção tão aguda entre ambos os aspectos não faz bem a ninguém.
Finalizando: Georg Cantor, ao propor os números transfinitos, propôs tanto os cardinais — alephs — quanto os ordinais — omegas.

Correndo o risco de denunciar minha idade provecta, confesso que sinto uma certa nostalgia pelo Van Halen, tanto nas na formações com David Lee Roth e Sammy Hagar.  Qual não foi, portanto, minha alegria — e surpresa — ao me dar conta de que as letras do grupo levantam importantes questões filosóficas.
Já parou de rir? Obrigado. Estou falando sério: importantes questões filosóficas.
Por exemplo, o profundo refrão de Why Can’t This be Love, que diz: It’s got what it takes/So tell me why can’t this be love?  (“Isto tem tudo o que é necessário/Então, diga-me, por que não poderia ser amor?”).
Trata-se de uma questão fundamental da ontologia, ou o estudo do ser, da essêcia das coisas: como é possível que uma coisa que preenche todos os requisitos da definição de “X” deixe de ser “X”?
A resposta óbvia é que, bom, oras, não é possível. Se “ser X” é equivalente a “ter todas as propriedades de X”, então if it got wha it takes, it’s love. Esta é, aliás, a definição de “identidade” dada pela Lei de  Leibnitz: A e B são iguais se A tiver as mesmas propriedades que B, e vice-versa.
Mas isso gera alguns problemas. Imagine que eu estou segurando dois quadrados de papel, exatamente do mesmo tamanho, peso, feitos com o mesmo tipo de papel, exatamente da mesma cor. Eles são iguais? Segundo a definição de Leibnitz, não,  porque um deles está na minha mão direita, e o outro, na esquerda: Essa propriedade, localização, é diferente. É por essas e outras que a geometria nunca fala em figuras “iguais”, e sim em figuras “congruentes”.
O caldo fica ainda mais espesso quando levamos a metafísica em consideração. Pense em duas hóstias, produzidas por ma mesma máquina, com a mesma farinha, mas uma delas consagrada e a outra, não: ambas têm todas as propriedades físicas, químicas e de aparência em comum. Mas, para um católico, uma delas é um biscoitinho e a outra, um naco da carne de Jesus.
Mais difícil que saber se uma coisa tem “o que é necessário” é descobrir, afinal, o que é necessário.

Uma questão que muitos amigos religiosos me fazem é como impedir as pessoas de sair por aí cometendo fraudes e assassinatos, se elas se convencerem de que não são “nada além” do resultado de milênios de evolução por seleção natural — evolução essa que, por sua vez, não seria “nada além” do resultado de bilhões de anos de colisões aleatórias entre partículas no espaço.
Minha resposta geralmente é um tanto quanto complexa, envolvendo a idéia de que, primeiro, esses dois “nada além” não são tão “nada além” assim; segundo, que a ligação entre materialismo e amoralidade é um non sequitur, já que tanto a sociabilidade quanto a afetividade e o senso de certo e errado podem ser vistos como propriedades emergentes produzidas pela evolução; e  mais um monte de outras ponderações do gênero.
Mas notícias assim me fazem pensar que toda essa conversa não passa de uma perda de tempo, e que eu é que deveria estar cobrando argumentos de meus amigos: afinal, onde está a evidência de que a ilusão teleológica (de que a vida tem um sentido metafísico imposto por uma divindade bondosa) representa razão suficiente para levar as pessoas a se comportarem bem?  
Se nem os monges do Santo Sepulcro conseguem evitar cenas ridículas de pugilato…

Richard Dawkins está se aposentando de sua posição em Oxford. De uns tempos pra cá virou “cool” dizer que Dawkins “é tão fundamentalista quanto” os religiosos que critica. Mas, como quase tudo que é “cool”, essa é uma afirmação que não sobrevive a dois segundos de reflexão mais profunda.
Digamos que você discorde de um muçulmano fundamentalista. Ele vai se achar no direito de matar você, perseguir sua família, depredar sua propriedade.
Digamos que você discorde de um cristão fundamentalista. Ele também via se achar no direito de matar você, perseguir sua família, etc, ou, se vocês viverem numa democracia ocidental com polícia por perto (como os EUA, digamos) talvez se limite a sentir uma profunda satisfação por saber que você vai arder no inferno e seus filhos e netos serão amaldiçoados.
Digamos que você discorde de Richard Dawkins. Ele vai se achar no direito de escrever um artigo (ou livro) tirando sarro da sua cara.
Sou só eu que noto a diferença?
Dawkins é veemente ao apresentar suas idéias, mas isso está longe de ser um defeito. Sei que vivemos num mundo onde se considera de bom tom que “sentimentos” e “crenças” dos “outros” sejam tratados com luva de pelica, mas a idéia toda me parece profundamente desrespeitosa: é como se encarássemos esses “outros” como criancinhas imaturas, e tivéssemos dó de mostrar a elas que Papai Noel não existe.
(E eles têm a oportunidade de tentar nos convencer dque Papai Noel existe, ora bolas)
Finalizando, veemência não é dogmatismo (ou fundamentalismo). Um homem veemente pode estar convicto de que tem os melhores argumentos sobre uma questão e apresentá-los de modo contundente, e ainda assim ter a honestidade intelectual de mudar de idéia, quando a evidência tornar isso necessário.
Já um homem dogmático (ou fundamentalista) simplesmente ignora a evidência em contrário, transforma-a em “heresia”  ou, se tiver uma veia poética, disfarça-a como “mistério”.
De novo: sou só eu que noto a diferença?

O método do segundo turno automático é uma versão mais sofisticadada da Contagem de Borda (da postagem de ontem!). Enquanto que o sistema de Borda hoje em dia é uma raridade na política e é adotado, majoritariamente, em situações informais — por exemplo, rankings de mulheres mais bonitas, listas de livros mais populares, etc. — o segundo turno automático (IRV, na sigla em inglês) é usado, por exemplo, na eleição do presidente da República da Irlanda e em várias comarcas dos EUA. Uma versão do método é adotada na escolha do prefeito de Londres.
O IRV começa como uma votação normal de Borda: cada candidato presente na cédula recebe, de cada eleitor, um ranking, indo de favorito a menos desejável (ou rejeitado). O que muda é o método de apuração: no IRV, a primeira coisa que se faz é contar quantas vazes cada candidato aparece como primeiro no ranking. Digamos, repetindo o exemplo anterior, que num universo de 100 eleitores, Kassab tenha aparecido em primeiro lugar em 39 dos votos, Marta em 35 e Hitler, em 26. 
Com essa contagem, Hitler é automaticamente eliminado, e seus votos são redistribuídos de acordo com a segunda opção de seus eietores. Digamos que os 26 eleitores de Hitler tenham optado por Kassab como segunda opção: Kassab é eleito com 65 votos.
Ora, parece que nossos problemas acabaram, certo? Na verdade, não. O IRV tem uma falha que a de não preservar a motonicidade — que é, basicamente, um jeito de dizer que um candidato pode perder a eleição por ter votos demais.
Como? Bem, imagine que a campanha de Kassab tenha sido realmente boa, e com isso ele tenha tirado mais votos de Marta (ou que a pergunta “é casado? tem filhos?” tenha minado a base martista). O resultado poderia ficar:
Kassab – 49 votos
Marta – 25 votos
Hitler – 26 votos
Agora é Marta que é eliminada na primeira rodada de apurações. A questão é: quem vai herdar seus votos? Se a amaioria dos eleitores de Marta tiver, por algum motivo, marcado “Hitler” como segunda opção (talvez por despeito em relação a Kassab, e por achar que o nazista não tinha chance nenhuma de ganhar, mesmo) o doido acaba eleito!
Repassando: por ter ido bem demais na primeira rodada, Kassab perde a eleição.
Esse fenômeno é raro o suficiente para não ser uma grande preocupação prática, mas representa uma falha teórica grave do sistema.

Não, não se trata de uma técnica para medir o perímetro (ou a borda) de alguma coisa, das de um método de votação, usado, diz-me a Wkipedia, na Assembléia Nacional da Eslovênia e no Parlamento de Nauru. O sistema foi batizado com o nome do matemático francês Jean-Charles de Borda, mas surgiu independentemente em várias partes do mundo. É bem possível que esteja sendo reinventado, neste instante, numa classe de pré-primário em alguma parte do mundo.
Como funciona? Simples: cada eleitor dá pontos para os candidatos numa lista, de acordo com sua preferência pessoal: o favorito ganha um ponto, o segundo, dois, etc. No fim, quem tiver menos pontos,  ganha (dá para fazer o contrário, também: numa eleição com 5 candidatos, o favorito ganha 5 pontos, o segundo, 4, etc. Nesse caso, quem tiver mais pontos ganha).
O sistema tem a vantagem aparente de eliminar a possibilidade de haver um “spoiler” na eleição (isto é, um candidato que, sem chances de ganhar, mesmo assim tira votos de outro que poderia vencer). Numa contagem de Borda, candidato que, numa votação normal, acabaria prejudicado pelo “spoiler” geralmente acaba em segundo lugar na lista dos eleitores do “spoiler” e, graças a isso, acumula pontos suficientes para ganhar.
Assim como a maioria dos sistemas de votação, a contagem de Borda é vítima do teorema da impossibilidade, o que significa que tem lá seus problemas, comuns a processos eleitorais em geral.
Mas ela tem um defeito bem específico: a contagem de Borda pode ser manipulada por um truque chamado sepultamento. Basicamente, trata-se de um método de “voto útil” em que o eleitor “sepulta” o principal adversário de seu candidato favorito no fim da lista. Isso distorce os resultados de modo perigoso.
Por exemplo, imagine uma eleição entre Kassab, Marta e Hitler. Os eleitores de Kassab sabem que Marta é a única adversária séria de seu candidato, e vice-versa. Só uma meia-dúzia de malucos votaria em Hitler. Então, numa contagem de Borda, o melhor, se você torce por Kassab, é garantir que Marta vá para o fim da cédula. Se você é petista, o mesmo raciocínio se aplica, em relação a Kassab.
Logo, a cédula “racional” de um eleitor de Kassab é:
Kassab
Hitler
Marta
E de um eleitor de Marta:
Marta
Hitler
Kassab.
Com isso, Hitler consegue 100% de segundos lugares entre seus opositores ( e 100% de primeiros lugares entre a meia-dúzia de malucos), e nenhum último lugar. Com isso, ele tem uma boa chance de acabar eleito!

Qual o artigo a Constituição dos Estados Unidos dá ao povo o direito de eleger o presidente?
Resposta: nenhum! 
A Carta diz apenas que os Estados enviarão delegados ao colégio eleitoral, e que esses delegados, por sua vez, escolherão um presidente. A Constituição é omissa quanto à forma como cada Estado deve escolher seus delegados (e foi esse o motivo que levou a Suprema Corte a declarar que a recontagem dos votos na Flórida, em 2000, era irrelevante). 
Uma outra anedota sobre a Constituição americana diz que Kurt Gödel, um dos maiores matemáticos do século 20, certa vez afirmou que havia encontrado um meio perfeitamente lógico de transformar os EUA numa ditadura, sem violar a Constituição. O truque envolveria uma série de emendas à Carta.
E onde Lewis Carroll entra nessa? O fato é que o reverendo Charles Dodgson escreveu uma série de panfletos sobre a melhor forma de decidir uma disputa por meio do voto.
Como a maioria dos matemáticos e especialistas em lógica que se debruçaram sobre o tema, ele considerava o método de voto majoritário — um voto para cada eleitor, ganha o candidato mais votado — extremamente insatisfatório em qualquer situação com três ou mais candidatos, por causa da possibilidade da divisão do voto: dois candidatos com propostas semelhantes poderiam dividir o eleitorado a favor dessa proposta e levar um terceiro, com idéias objetivamente mais impopulares que as da dupla, à vitória.

Umquadrado mágico é um diagrama que dispõe números num quadrado de form que  soma das linhas, colunas e diagonais é uma constante. Um dado curioso é que a constante (chamada “constante mágica”) depende da ordem do quadrado, definida como o número de números — com o perdão da redundância — em cada linha ou coluna. Por exemplo, todos os 880 quadrados mágicos 4×4, ou de quarta ordem, somam 34.
Só existe um conjunto de números que gera um quadrado mágico de terceira ordem, ou 3×3: 8,1,6,3,5,7,4,9,2.  Claro, é possível construir mais de um quadrado a partir desses números, por meio de permutações. A “constante mágica”, nesse caso, é 15.
 O teclado de uma calculadora comum é quase um quadrado mágico: as duas diagonais somam 15, assim como a coluna central.
Há algoritmos para a construção de quadrados mágicos, alguns já implementados em páginas da internet. O chamado “método siamês” para a construção de qudarados mágicos é explicado aqui.