O Paradoxo do Celeiro e da Lança

Eu já traduzi o “Crackpot Index” do John Baez. Agora me deu na telha traduzir o “The Barn and The Pole”.
Atualizado em 1997 por PEG.
Atualizado em 1992 por SIC.
Original de Robert Firth.
Um Paradoxo da Relatividade Restrita: O Celeiro e a Lança
Estes são os materiais. Você possui um celeiro, com 40m de comprimento, com portas automáticas em ambas as extremidades, que podem ser abertas e fechadas simultaneamente por um comutador. Você também tem uma lança, com comprimento de 80m, que, é claro, não cabe dentro do celeiro.
Agora, alguém pega a lança e tenta passar correndo (quase à velocidade da luz) através do celeiro com a lança na horizontal. A Relatividade Restrita (RR) diz que um objeto em movimento se contrai na direção do movimento: isso se chama a Contração de Lorentz. Assim, se a lança é posta em movimento no sentido de seu comprimento, ela vai se contrair no referencial de um observador estacionário.
Você é o observador, sentado no telhado do celeiro. Você vê a lança vindo em sua direção e ela se contraiu para um pouco menos do que 40m, em seu referencial. (Ela realmente parece mais curta para você? Veja em Can You See the Lorentz-Fitzgerald Contraction? a surpreendente resposta. Mas, de qualquer forma, você iria medir seu comprimento como menos de 40m.)
Assim, quando a lança passar através do celeiro, vai haver um instante em que ela fica inteiramente dentro do celeiro. Neste instante, você fecha ambas as portas simultaneamente, com seu comutador. É claro, você as abre novamente, bem rapidinho, mas, ao menos momentaneamente, você ficou com a lança contraída fechada dentro de seu celeiro. A corredora emerge da porta de trás sem um arranhão.
Porém, considere o problema do ponto de vista da corredora. Ela vai observar a lança como estando estacionária e o celeiro se aproximando em alta velocidade. Neste referencial, a lança ainda mede 80m, e o celeiro tem menos de 20m de comprimento. Certamente a corredora estará com problemas se as portas fecharem quando ela estiver lá dentro. A lança certamente vai ficar presa.
Bom, afinal, a lança fica presa na porta ou não? Você não pode ter ambas as respostas. Este é o chamado “Paradoxo Celeiro-Lança”. A resposta está enterrada no uso errado do termo “simultaneamente” na primeira sentença da estória. Na RR, os eventos separados no espaço que parecem simultâneos em um referencial, não precisam parecer simultâneos em outro referencial. As portas que se fecham são dois eventos separados.
A RR explica que as duas portas jamais ficam fechadas ao mesmo tempo no referencial da corredora. De forma que sempre há espaço para a lança. De fato, a transformada de Lorentz para o tempo é
t’=(t-v*x/c2)/sqrt(1-v2/c2)
É o termo v*x no numerador que causa o problema aqui. No referencial da corredora, o evento mais distante (com um valor de x maior) acontece mais cedo. A porta mais distante se fecha primeiro. Ela se abre antes dela chegar lá e a porta mais próxima se fecha atrás dela. Salva novamente — de qualquer modo que você veja a coisa, conquanto que você se lembre que a simultaneidade não é uma constante na física.
E se as portas ficarem fechadas?
Se as portas forem mantidas fechadas, a lança obviamente vai se esmagar na porta do celeiro em uma das extremidades. Se a porta aguentar a ponta da frente da lança, esta ponta da lança vai entrar em repouso no referencial do observador estacionário. Não pode haver uma coisa tal como uma lança rígida na Relatividade, de forma que a ponta de trás não vai parar imediatamente e a lança vai ser comprimida além da Contração de Lorentz. Se alnça não explodir sob a pressão e for suficientemente elástica, ela vai entrar em repouso e começar a voltar a seu formato original, mas, como ela é grande demais para o celeiro, a outra extremidade vai bater na porta que ficou atrás e a lança vai ficar presa em um estado comprimido dentro do celeiro.
Referências: Spacetime Physics de Taylor e Wheeler é o clássico. As Lectures de Feynman, também são interessantes.

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Nota tardia do tradutor: eu tinha traduzido “Special Relativity” por “Relatividade Especial”, mas modifiquei para “Relatividade Restrita” porque é como eu vejo a maior parte das referências a ela.

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