O mais difícil problema de geometria fácil do mundo


É possível encontrar o valor do ângulo x em cada um dos triângulos acima usando apenas geometria elementar — nada de trigonometria, com senos, cossenos e afins. Geometria fácil, como lembrar que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180 graus. Mas encontrar a solução é MUITO difícil. Depois de pelo menos duas horas tentando resolver o problema, confira as dicas em inglês. Com elas, talvez demore apenas mais algumas horas para resolver os problemas. [via haha.nu]

Discussão - 52 comentários

  1. Luis Brudna disse:

    Hehe.
    eu estava indo bem na solução. Cheguei perto (não significa muito)… tentei atalhar a resposta e me dei mal.
    Se bem que não tenho certeza dos erros.
    Não vou tentar agora novamente. Minha cabeça tá cheia dos equivcos, vou cometer eles novamente.
    Belo desafio.

  2. Marcos disse:

    x = 20º ?

  3. Mori disse:

    Hmmm… Talvez, Marcos. Se puder, envie como chegou a esse valor, em inglês, ao email indicado no link. Se preferir, pode enviar a resposta em português para mim (kentaro.mori@gmail.com), que a repassarei ao autor para conferir.
    Probleminha cruel esse! 🙂

  4. patricia ernsen disse:

    x=50

  5. nika disse:

    1- x=130º
    2- x=80º

    • camila fernanda disse:

      este problema é bem intrigante.
      Fiz umas tentativas e v6 devem ter chegado ás mesmas conclusões…
      BDE=130-x;
      EDC=10+x;
      DEC=150-x;

      o problema torna-se apenas encontrar um triângulo que envolva algum(ns) deste(s) ângulo(s).S”o que os valores dos ângulos envolvidos não pedem anular o x.Por exmplo,se for encontrada uma relação que usa o termo (BDE+EDC),x ficará anulado,pois(BDE+EDC)=(130-x)+ (10+x)=140.
      o final desta expressão sempre terminará com k=k(constante) o que prova que o valor de x independente ao cálculo.
      Isso constitui um sistema possível Indeterminado,SPI.
      No entanto,por serem estes ângulos sempre positivos,sabemos que x > 0,e que BDE > 0,que leva a x.

    • camila fernanda disse:

      Qualquer valor entre 0 e 130 podem satisfazer a equação…

  6. Elias Marques disse:

    este problema é bem intrigante.
    Fiz umas tentativas e v6 devem ter chegado às mesmas conclusões…
    os ângulos BDE, EDC e DEC podem ser postos em função de x:
    BDE = 130 – x;
    EDC = 10 + x;
    DEC = 150 – x;
    o problema torna-se apenas encontrar um triângulo que envolva algum(ns) deste(s) ângulo(s). Só que os valores dos ângulos envolvidos não podem anular o x. Por exemplo, se for encontrada uma relação que usa o termo (BDE + EDC), x ficará anulado, pois (BDE + EDC) = (130 – x) + (10 + x) = 140.
    o final desta expressão sempre terminará com k = k (constante) o que prova que o valor de x independe ao cálculo.
    Isso constitui um Sistema Possível Indeterminado, SPI.
    No entanto, por serem estes ângulos sempre positivos, sabemos que x > 0, e que BDE > 0, que leva a x

  7. Elias Marques disse:

    Continuação…
    No entanto, por serem estes ângulos sempre positivos, sabemos que x > 0, e que BDE > 0, que leva a x

  8. Elias Marques disse:

    No entanto, por serem estes ângulos sempre positivos, sabemos que x > 0, e que BDE > 0, que leva a x

  9. Elias Marques disse:

    QUALQUER valor entre 0 e 130 vai satisfazer a equação.

  10. lil disse:

    deu na mesma.. x = 20º

  11. Thiago da Silva Lozer disse:

    Uhn………. parece ser fácil, mas não é..
    Só prescisamos de um pouco mais de pensar.

  12. vinicius disse:

    poo mtu dificiil !! axei x=30 mais se for issu nao satizfaz o triangulo da ponta ¬¬
    entao nao sei nem o qe dizer !! mais vllw a tentativa !!

  13. Chloe disse:

    Problem 1: x = 75
    Problem 2: x = 30
    ???
    ; )

  14. junior disse:

    1 caso: x=20
    2 caso: x=30

  15. vini disse:

    problema 2 é fácil quando se lembra da semelhança de triângulos

  16. THIAGO NASCIMENTO disse:

    Assim…tentei de tudo quanto é forma e sempre cheguei, no primeiro exercicio, em x = 0º
    pelo desenho que você fez, aparenta ter grau, mas acredito fortemente que não exista grau ali…acredito ser uma linha reta fazendo este desenho respeitando todos os graus!
    Mas me mostrei o resultado. Aguardo retorno
    thiago@cieph.com.br

  17. THIAGO NASCIMENTO disse:

    X = 0º
    Em escala totalmente natural aquele angulo X não existe e então o triangulo apresenta duas retas cruzadas.
    Cheguei neste resultado obtendo esta equação final
    (70-x) + 30 + 180 + 80 = 360
    X = 0
    Acredito fortemente na minha resposta, mas se eu estiver errado…por favor me falem…obrigado!

  18. evandro disse:

    1º X=20º
    2º X=30º

  19. LUIZ disse:

    consegi!!!x=20° ,eh bem dificil,tive q fase mtos passos e traçar 3 linhas, mas é 20 ° crtz

  20. Luiz Eduardo disse:

    30º
    é um fato, Procurem por TRIANGULO RUSSO. Vão encontrar alguma coisa.

  21. jonathan disse:

    muitooooooooooooo fácil , é só “criar” outro triâgulo ao lado , aí vai ter uma mediana separando os dois lados , logo dá pra achar o outro Ângulo que falta .
    demorei 15 seg ,sério!

  22. lucas n disse:

    no 1º caso X=60º
    depois de achar todos os angulos possiveis pela soma dos angulos internos, vc monta a equação 50+x+140-(180-50-x)=180

  23. thiago ribeiro disse:

    x=40 relembrando a lei do grande pensador Albert Einstein

  24. erik zavarize disse:

    ta todo mundo enganado, o unico que nao, é o elias marques. de fato. qualquer x entre 0º e 130º satisfara as leis trigonometricas de existencia de um triangulo. tente p.ex. x=129º ou 13º, dara certo. existem infinitas soluçoes para esse problema que é uma puta sacanagem do ca***ho..brincadeira. todo mundo se matando e o problema tem infinitas soluçoes (entre 0 e 130 graus)

  25. Darciano disse:

    Não existem infinitas soluções. A princípio, quando são montados os primeiros sistemas de equações, o fato do ângulo “x” ser cancelado e de se chegar a um resultado “k = k” demonstra apenas que o caminho pra chegar ao problema ainda não é o correto, os dados utilizados não foram suficientes.
    Se vocês observarem atentamente a figura, sem se preocupar com cálculos por um momento, observarão que trata-se de uma figura única, que está inclusive desenhada sob escala, o que demanda, portanto, uma resposta única também.

  26. Kaio Marcelo disse:

    1 Problem X=20º
    2 Problem X=30º
    Bom eu tentei, fiz as linhas deu nisso ai…

  27. beto disse:

    se 180° é a soma interna temos !40+v60-(b+d)d.f/3
    realizando os calculos e sabeno ja o seno e coseno resulta
    x=§40-b-f+d logo o parametro triconometral interno de cada angulo terá o radiano da tangente transverssal = 9 logo se somar o resultado do seno mais o resultado da raiz quadrada mais a tangente do cateto da hipotenusa interna teremos 20° mais vale resaltar que existe impresição nesse resultado pois o real resultado é 19,645276547645238486452389… em uma prescição minuciosa teriamos que usar um procedimento ainda mais complicado.
    agradeço a todos

    AT beto chefe geral do dep de inteligência cientifica do canadá.

  28. Victor disse:

    Minha solução, usando geometria básica:
    Problema 1
    1-Circunscreva o triângulo ABD
    2- Arco AD= 120º
    3-Chamando o ponto de intersecção da circunferência com a reta AE de ponto P, temos Arco AP=20º
    4- Pela definição de ângulo externo à circunferência, temos,
    med(DEA)=[med(ABD) – med(ADP)]/2
    5- med(DEA)= 120- 20/2
    Logo, DEA mede 50º

    A solução é análoga para o problema 2

  29. gabriel disse:

    X = 55º de certeza

  30. elaine santos disse:

    20° e lógico ate eu q nunca estudei geometria conseguir responder em menos de 2 mim
    quem ñ sabe isso pode se matar
    rsrrsrssrsrsrsrsrs

  31. somei 60+50=70; o posto pelo vertice também é 70 não achei ”x”.

  32. ERIC MARINHO disse:

    Quem nunca viu estes problema dirá que sou maluco em minha resolução, mas quem for a fundo comigo não se arrependerá.Consegui resolver o problema 2, mas a solução não é trivial como todos falam. Engana-se quem diz que os problemas são fáceis. Vamos ao artifício utilizado.
    1) Traça-se o ponto F sobre BE de modo que BÂF seja 20°; depois liga-se F a D, formando o triângulo AFD. Este triângulo nos dará suporte mais a frente.
    2) No triângulo ABF(ISÓSCELES) concluímos que AB=AF, pois o ângulo AFB=ABF=80°
    3) O ângulo ADB =ABD=50°, logo o triângulo ABD é isósceles e podemos afirmar que AB=AD, e ainda mais além: Se AB=AF e AB=AD, então AB=AF=AD.
    4) Se AF=AD e DAF=60°, o triângulo suporte ADF é EQUILÁTERO.
    5) Como o ângulo FAE=FEA=40°, FA=FE.
    6) Como AF=FD e FA=FE, podemos afirmar que FD=FE e que FDE=DEF=70°,pois DEF é outro triângulo ISÓSCELES.
    7) DEF=70°, ou seja, X+40°=70°.
    8) X=30°
    9) Também existe uma resolução trigonométrica, onde são utilizados Lei dos Cossenos e Equação do Arco Duplo e não necessita de um triângulo suporte. É apenas fazer contas e substituições, porém fugiremos do proposto no enunciado.
    10) Para aqueles que tentaram inscrever o quadrilátero ”em um círculo”(pleonasmo intencional), relembro que existe uma regra para isso. A regra é a seguinte: Os ângulos opostos devem somar 180°, ou seja ADE+ABE=BAD+BED=180°, por tanto inicialmente não podemos inscrever o quadrilátero ABED, visto que estaríamos amarrando o problema e atribuindo automaticamente o valor de 60° a X.
    11) Para aqueles que acharam que os problemas propostos vieram da escolinha da ”Tia Teteca”, ainda resta tempo para comer muito feijão e aprender o que é humildade com a Geometria Plana. Um grande abraço.
    Eric Marinho

  33. geobson disse:

    é possível resolver os dois problemas ,traçando ,para isso, penas três linhas…

  34. Jack Meurer disse:

    Sei que no primeiro caso x= 20 graus porque fiz o desenho com as medidas dos ângulos exatamente como são na realidade, ou seja com proporções reais. Então começa-se pela ideia de que a soma dos ângulos internos de qualquer triangulo seja igual a 180 graus. Provavelmente a solução seria traçar uma ou mais retas que tornem a solução possivel ou simplesmente as regras de ângulos opostos pelo vertice, ângulos complementares, congruentes, colaterais… algo nesse sentido. Se encontrar uma solução realmente esclarecedora volto a postar aqui

  35. Jack Meurer disse:

    encontrei a solução do problema 1, traçando duas retas horizontais dentro do triangulo, tem-se um trapézio isósceles, apartir dai só geometria elementar encontra-se a resposta x= 20

  36. ademir disse:

    no caso 2
    traço uma semi-reta saindo do angulo A seguindo até o lado EB no ponto que chamo de F, de modo que tenha um triangulo FÂB (50°)

  37. Renato disse:

    É claro q x tem q ser menos q 60°.
    Muito fácill

  38. bruno disse:

    x = 60 graus

  39. josué disse:

    tem duas formas de fazer. uma pode ser somando tudo, e depois subtrair por 180. e a outra seria fazendo a equação.

    primeiro problema:

    70+60+10+20+x=180
    x=180-160
    x=20

    segundo problema:

    60+50+30+20+x=180
    x=180-160
    x=20

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