Em que provamos que ŌÄ=4

provapi4

Voc√™ consegue descobrir a falha no argumento acima? H√° muitas formas de entender como repetir a remo√ß√£o de cantos n√£o leva realmente ao comprimento de um c√≠rculo, incluindo aquela que se resume a repetir como remover cantos desta forma s√≥ lhe deixar√° com mais cantos, mas ‚Äúvoc√™ sempre vai ter espa√ßo pra fazer mais uma dobrinha nas quinas do quadrado, com apenas a ponta encostando no circulo, mas sempre com uma quina que n√£o encosta. E voc√™ s√≥ diminui a distancia entre a quina e o circulo, mas sempre vai ter a quina ,ent√£o nunca vai encostar em todo o per√≠metro‚ÄĚ, como notou o girino.

Essa explicação lhe satisfaz? Pois bem, então por que o método de Arquimedes sim funciona? Há mais de dois milênios, o matemático grego foi o primeiro ser humano na história conhecida a aproximar o valor de pi por um método matematicamente rigoroso que poderia fornecer uma aproximação com a precisão que se desejasse.

Atrav√©s de pol√≠gonos inscritos e circunscritos com n√ļmeros cada vez maiores de lados, Arquimedes p√īde estimar esta elusiva constante matem√°tica com as t√©cnicas geom√©tricas simples de que dispunha para pol√≠gonos regulares. Clique na imagem abaixo para um gr√°fico interativo, e aumente o n√ļmero de lados do pol√≠gono para obter aproxima√ß√Ķes cada vez melhores de pi.

arquimedespi

Pois bem, isto não parece muito diferente do método trollface. Você consegue explicar por que um método funciona e o outro, não?

Uma forma de enxergar o problema é perceber, como notou o Ricbit, que o método trollface de obter o valor do pi poderia gerar um valor arbitrário. Você poderia desenhar uma estrela, e então desenhar estrelas cada vez menores, sempre mais próximas do perímetro do círculo. Ao infinito, você poderia ter algo que de longe pareceria um círculo. Mas o perímetro deste objeto poderia ser maior que 4, de fato, poderia ter um comprimento arbitrário, mesmo… infinito. E, pelo visto, mais pessoas perceberam isto.

√Č o problema de medir a costa da Bretanha. A aproxima√ß√£o de Arquimedes tende a um limite que √© tanto um c√≠rculo como equivale ao per√≠metro de um c√≠rculo, ao contr√°rio do m√©todo trollface. Agora, aqui est√° o detalhe fabuloso: o m√©todo trollface pode ter comprimento arbitr√°rio, mas sim tende a um limite que √© um c√≠rculo! Como?

‚ÄúA converg√™ncia de pontos de curvas n√£o implica que seus comprimentos convirjam ao limite do comprimento. Imagine um humano caminhando em uma estrada reta por 1km da seguinte forma: ele d√° dois passos para frente, um passo para tr√°s, e ent√£o repete o procedimento. Ao final ele ter√° caminhado 3km ao inv√©s de 1km. Se fizermos o humano e seus passos cada vez menores, seu movimento parecer√° cada vez mais cont√≠nuo a um observador externo, mas ele ainda ter√° caminhado 3km ao inv√©s de 1km‚ÄĚ, explica um coment√°rio em Hacker News. ‚ÄúOu alternativamente (se quisermos adentrar o espa√ßo bidimensional) ele poderia dar uma passo √† esquerda, ent√£o √† frente, e ent√£o √† direita; isto faria com que seu caminho parecesse uma trilha fina que se aproximasse cada vez mais de uma linha reta, mas sempre seria tr√™s vezes mais comprido. Algo assim est√° acontecendo na brincadeira original‚ÄĚ.

Em que percebemos que é possível construir um círculo com uma linha de comprimento infinito, sem com isso demonstrar que o valor de pi tenha um valor muito diferente daquele estimado por Arquimedes há um par de milênios. Se isso parece inusitado, a matemática ainda reserva surpresas como o paradoxo de Banach-Tarski.

400px-Trollface_More_HD

PS.: Por favor, corrijam quaisquer sacrilégios matemáticos cometidos neste post.

Gnarls Barkley – Gone Daddy Gone (e cores falsas)

O clipe brinca com a ideia de pequenos insetos repugnantes, usando a est√©tica de micrografias coloridas artificialmente. Porque pulgas e moscas n√£o s√£o laranjas ou roxas ou verdes. √Č ci√™ncia aplicada a Gnarls Barkley. De certa forma.

As cores em tons de roxo, verde e laranja quase fosforescentes s√£o uma refer√™ncia √†s cores falsas usadas para dar mais vida e facilitar a compreens√£o de imagens em tons de cinza, como as produzidas por microscopia eletr√īnica de pequenos insetos. Voc√™ confere um monte de bel√≠ssimas imagens do mundo micro e nanosc√≥pico no blog da Scibling Fernanda, o Bala M√°gica, mas apresentamos aqui mesmo esta singela pulga. Que n√£o √© rosa de verdade.

Flea_Scanning_Electron_Micrograph_False_Color

Como o nome diz, microsc√≥pios eletr√īnicos funcionam atrav√©s de el√©trons, que permitem uma resolu√ß√£o muito maior do que raios de luz vis√≠vel. Infelizmente, el√©trons n√£o s√£o refletidos como a luz vis√≠vel, em um espectro de cores, mas simplesmente como √°reas de maior ou menor intensidade. As imagens geradas por essa t√©cnica s√£o assim, quando cruas, em tons de intensidade, cinza, em preto e branco.

Cientistas costumam colorir as imagens tediosas para destacar certas partes. A forma como o fazem n√£o √© arbitr√°ria: termografias, por exemplo, costumam representar a radia√ß√£o t√©rmica emitida em uma cena, com imagens em um arco-√≠ris de cores em que cada cor indica uma temperatura. Comumente cores frias come√ßando com o preto e azul indicam menor radia√ß√£o e cores mais quentes at√© o branco, maior. Voc√™ tamb√©m deve conhecer termografias como a vis√£o do ‚ÄúPredador‚ÄĚ.

Predator-1

N√£o s√£o cores reais, s√£o cores falsas de uma paleta multicolorida dando vida a dados originalmente em tons de intensidade. Em preto e branco.

Mesmo imagens astron√īmicas fabulosas como as produzidas pelo telesc√≥pio espacial Hubble contam com uma paleta de cores que n√£o √© equivalente a uma vis√£o em ‚Äúcores reais‚ÄĚ. Como microsc√≥pios eletr√īnicos modernos e c√Ęmeras t√©rmicas, o Hubble captura imagens atrav√©s de sensores eletr√īnicos com particularidades pr√≥prias. Ele o faz com diferentes filtros de cor, gerando imagens com informa√ß√Ķes de cor reais, com o detalhe de que os filtros que usa n√£o s√£o os mesmos que reproduziriam uma vis√£o humana comum.

√Č por isso que imagens do Hubble podem ser mais interessantes que as captadas por telesc√≥pios √≥ticos comuns, n√£o apenas por sua maior resolu√ß√£o, mas porque as paletas de cores buscam real√ßar ao m√°ximo a informa√ß√£o que pode ser transmitida. Os resultados s√£o mesmo um tanto psicod√©licos, pois permitem enxergar algo comumente oculto a simples vista.

Pillars-of-Creation_sm

Psicodélico como um clipe do Gnarls Barkley com pulgas multicoloridas. Artificialmente.

Agora você sabe que pulgas não são roxas de verdade, o Predador é um alienígena que usa uma falsa paleta de 256 cores para realçar uma imagem em tons de preto e branco e as mais belas imagens do Hubble têm cores que não poderiam ser vistas a olho nu. Nada disso é realmente segredo, mas para descobrir estes detalhes é preciso mergulhar um pouco na fonte dos muitos arco-íris do muito pequeno e do incomensuravelmente grande que a ciência nos apresenta.

Ah sim, a mosca com óculos do clipe já foi criada por cientistas.

060328_fly_glasses_big

O óculos foi cortado a laser para servir na cabeça de dois milímetros da mosca, como forma de promover a precisão de superior a um milésimo de milímetro da companhia alemã. E não, a mosca não é azul de verdade, mas isso você já sabia.

Nuclearoids: brinque de física nuclear

220225_nuclearoids_scr

Um jogo online de rea√ß√£o em cadeia. Em Nuclearoids, seu objetivo √© explodir todos os n√ļcleos at√īmicos corretos em cada n√≠vel, clicando em apenas um deles para iniciar a rea√ß√£o.

A brincadeira √© uma refer√™ncia a rea√ß√Ķes nucleares em cadeia, onde um n√ļcleo at√īmico inst√°vel pode ser bombardeado por um n√™utron, por exemplo, e ao se desintegrar lan√ßa mais n√™utrons que por sua vez desintegram outros n√ļcleos. Conceito um tanto complicado de expressar e entender em palavras, mas que o joguinho online deve transmitir em quest√£o de segundos. A rea√ß√£o de desintegra√ß√£o, ou fiss√£o dos n√ļcleos, se feita do modo certo se torna uma rea√ß√£o em cadeia at√© que todos os n√ļcleos, ou boa parte deles, tenha se dividido. Em um material radioativo e com uma massa significativa, a rea√ß√£o pode rapidamente liberar enormes quantidades de energia, no que conhecemos como bombas at√īmicas.

No joguinho, inofensivo, as primeiras fases s√£o bem f√°ceis. √Č porque a mat√©ria est√° de certa forma pr√≥xima da ‚Äúmassa cr√≠tica‚ÄĚ, na qual a rea√ß√£o em cadeia pode ocorrer mesmo espontaneamente. Clicando em praticamente qualquer n√ļcleo se assiste a um show de luzes. √Ä medida que as fases v√£o avan√ßando, criar uma rea√ß√£o em cadeia vai se tornando mais dif√≠cil.

O jogo n√£o √© uma li√ß√£o de f√≠sica nuclear rigorosa, e inclui ‚Äúnuclearoids‚ÄĚ com comportamento muito diferente de qualquer n√ļcleo at√īmico ‚Äď n√£o que aqueles mais comuns sejam realmente modelos fi√©is de √°tomos reais. Al√©m da divers√£o, contudo, t√™m toda essa bagagem mais intuitiva de conceitos mais complicados.

Nuclearoids se soma a outros joguinhos excelentes como Orbitrunner, que dá uma noção das leis de Kepler, e Starlight, ensinando algo de astronomia.

O navio de Teseu e a impermanência do Carbono-14

33696_4590

‚ÄúNenhum homem pode atravessar o mesmo rio duas vezes, porque [j√°] nem o homem nem o rio s√£o os mesmos.‚ÄĚ ‚Äď Her√°clito

‚ÄúO navio com que Teseu e os jovens de Atenas retornaram de Creta tinha trinta remos, e foi preservado pelos atenienses at√© o tempo de Dem√©trio de Falero, porque eles removiam as partes velhas que apodreciam e colocavam partes novas, de forma que o navio se tornou motivo de discuss√£o entre os fil√≥sofos a respeito de coisas que crescem: alguns dizendo que o navio era o mesmo e outros dizendo que n√£o era.‚ÄĚ ‚Äď Plutarco

O paradoxo do barco de Teseu √© ao mesmo tempo uma das doutrinas essenciais do Budismo: a imperman√™ncia, a consci√™ncia de que tudo est√° em fluxo constante. A profundidade deste conceito pode ser apreciada tanto filosoficamente quanto vislumbrada cientificamente, compreendendo melhor a data√ß√£o por radiocarbono, conhecida tamb√©m como teste de Carbono-14. √Č uma longa jornada que vai literalmente de estrelas a muitos anos-luz at√© a ponta de seus p√©s, mas √†queles dispostos a dedicar algum tempo e esfor√ßo a viagem valer√° a pena.

Continue lendo: ‚ÄúO navio de Teseu e a imperman√™ncia do Carbono-14‚ÄĚ

Constela√ß√Ķes Humanas

iss025e010008_900c

A explora√ß√£o espacial √© tamb√©m uma fonte infind√°vel de perspectivas da pr√≥pria Terra. Nesta ‚ÄúImagem Astron√īmica do Dia‚ÄĚ da NASA, ‚Äúconstela√ß√Ķes de luzes‚ÄĚ se estendem pela vista da Esta√ß√£o Espacial Internacional. N√£o s√£o estrelas: s√£o aglomerados urbanos. Somos n√≥s.

O nexo entre constela√ß√Ķes no c√©u, vistas da Terra, e constela√ß√Ķes na Terra, vistas do espa√ßo, √© fabuloso. Afinal, n√£o s√≥ todos os elementos mais pesados que o hidrog√™nio foram produzidos em fornalhas e explos√Ķes estelares ‚Äď pelo que, nunca √© demais relembrar, somos literalmente poeira de estrelas ‚Äď, mas parte desta poeira adquiriu consci√™ncia e criou essas luzes artificiais, vis√≠veis a 320 km de altitude.

Navegue pela origem da energia que produziu estas constela√ß√Ķes de luzes urbanas, e descubra um nexo ainda mais profundo. Embora a energia venha de fontes muito variadas, sua maior parte pode ser tra√ßada de volta ao nosso pr√≥prio Sol, que com sua luz fixou h√° milh√Ķes de anos o carbono dos combust√≠veis f√≥sseis ou movimentou bem recentemente o constante ciclo da √°gua que move nossas usinas hidrel√©tricas. Como disse Richard Feynman sobre a madeira, essas fontes de energia s√£o de certa forma a pr√≥pria luz do Sol armazenada. Ao utilizarmos esta energia para iluminar artificialmente a noite, estamos liberando esta luz outra vez.

Estas constela√ß√Ķes humanas tamb√©m s√£o, de certa forma, compostas de estrelas.

Atualiza√ß√£o: Mais fotos de constela√ß√Ķes humanas. Abaixo, o delta do Nilo.

185415565

E a Europa:

188233314

Como se as imagens não fossem suficientes, elas estão sendo publicadas via Twitter, diretamente da Estação Especial Internacional pelo astronauta Douglas Wheelock.

Sobre ScienceBlogs Brasil | Anuncie com ScienceBlogs Brasil | Pol√≠tica de Privacidade | Termos e Condi√ß√Ķes | Contato


ScienceBlogs por Seed Media Group. Group. ©2006-2011 Seed Media Group LLC. Todos direitos garantidos.


P√°ginas da Seed Media Group Seed Media Group | ScienceBlogs | SEEDMAGAZINE.COM