Em que provamos que π=4

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Você consegue descobrir a falha no argumento acima? Há muitas formas de entender como repetir a remoção de cantos não leva realmente ao comprimento de um círculo, incluindo aquela que se resume a repetir como remover cantos desta forma só lhe deixará com mais cantos, mas “você sempre vai ter espaço pra fazer mais uma dobrinha nas quinas do quadrado, com apenas a ponta encostando no circulo, mas sempre com uma quina que não encosta. E você só diminui a distancia entre a quina e o circulo, mas sempre vai ter a quina ,então nunca vai encostar em todo o perímetro”, como notou o girino.

Essa explicação lhe satisfaz? Pois bem, então por que o método de Arquimedes sim funciona? Há mais de dois milênios, o matemático grego foi o primeiro ser humano na história conhecida a aproximar o valor de pi por um método matematicamente rigoroso que poderia fornecer uma aproximação com a precisão que se desejasse.

Através de polígonos inscritos e circunscritos com números cada vez maiores de lados, Arquimedes pôde estimar esta elusiva constante matemática com as técnicas geométricas simples de que dispunha para polígonos regulares. Clique na imagem abaixo para um gráfico interativo, e aumente o número de lados do polígono para obter aproximações cada vez melhores de pi.

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Pois bem, isto não parece muito diferente do método trollface. Você consegue explicar por que um método funciona e o outro, não?

Uma forma de enxergar o problema é perceber, como notou o Ricbit, que o método trollface de obter o valor do pi poderia gerar um valor arbitrário. Você poderia desenhar uma estrela, e então desenhar estrelas cada vez menores, sempre mais próximas do perímetro do círculo. Ao infinito, você poderia ter algo que de longe pareceria um círculo. Mas o perímetro deste objeto poderia ser maior que 4, de fato, poderia ter um comprimento arbitrário, mesmo… infinito. E, pelo visto, mais pessoas perceberam isto.

É o problema de medir a costa da Bretanha. A aproximação de Arquimedes tende a um limite que é tanto um círculo como equivale ao perímetro de um círculo, ao contrário do método trollface. Agora, aqui está o detalhe fabuloso: o método trollface pode ter comprimento arbitrário, mas sim tende a um limite que é um círculo! Como?

“A convergência de pontos de curvas não implica que seus comprimentos convirjam ao limite do comprimento. Imagine um humano caminhando em uma estrada reta por 1km da seguinte forma: ele dá dois passos para frente, um passo para trás, e então repete o procedimento. Ao final ele terá caminhado 3km ao invés de 1km. Se fizermos o humano e seus passos cada vez menores, seu movimento parecerá cada vez mais contínuo a um observador externo, mas ele ainda terá caminhado 3km ao invés de 1km”, explica um comentário em Hacker News. “Ou alternativamente (se quisermos adentrar o espaço bidimensional) ele poderia dar uma passo à esquerda, então à frente, e então à direita; isto faria com que seu caminho parecesse uma trilha fina que se aproximasse cada vez mais de uma linha reta, mas sempre seria três vezes mais comprido. Algo assim está acontecendo na brincadeira original”.

Em que percebemos que é possível construir um círculo com uma linha de comprimento infinito, sem com isso demonstrar que o valor de pi tenha um valor muito diferente daquele estimado por Arquimedes há um par de milênios. Se isso parece inusitado, a matemática ainda reserva surpresas como o paradoxo de Banach-Tarski.

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PS.: Por favor, corrijam quaisquer sacrilégios matemáticos cometidos neste post.

Gnarls Barkley – Gone Daddy Gone (e cores falsas)

O clipe brinca com a ideia de pequenos insetos repugnantes, usando a estética de micrografias coloridas artificialmente. Porque pulgas e moscas não são laranjas ou roxas ou verdes. É ciência aplicada a Gnarls Barkley. De certa forma.

As cores em tons de roxo, verde e laranja quase fosforescentes são uma referência às cores falsas usadas para dar mais vida e facilitar a compreensão de imagens em tons de cinza, como as produzidas por microscopia eletrônica de pequenos insetos. Você confere um monte de belíssimas imagens do mundo micro e nanoscópico no blog da Scibling Fernanda, o Bala Mágica, mas apresentamos aqui mesmo esta singela pulga. Que não é rosa de verdade.

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Como o nome diz, microscópios eletrônicos funcionam através de elétrons, que permitem uma resolução muito maior do que raios de luz visível. Infelizmente, elétrons não são refletidos como a luz visível, em um espectro de cores, mas simplesmente como áreas de maior ou menor intensidade. As imagens geradas por essa técnica são assim, quando cruas, em tons de intensidade, cinza, em preto e branco.

Cientistas costumam colorir as imagens tediosas para destacar certas partes. A forma como o fazem não é arbitrária: termografias, por exemplo, costumam representar a radiação térmica emitida em uma cena, com imagens em um arco-íris de cores em que cada cor indica uma temperatura. Comumente cores frias começando com o preto e azul indicam menor radiação e cores mais quentes até o branco, maior. Você também deve conhecer termografias como a visão do “Predador”.

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Não são cores reais, são cores falsas de uma paleta multicolorida dando vida a dados originalmente em tons de intensidade. Em preto e branco.

Mesmo imagens astronômicas fabulosas como as produzidas pelo telescópio espacial Hubble contam com uma paleta de cores que não é equivalente a uma visão em “cores reais”. Como microscópios eletrônicos modernos e câmeras térmicas, o Hubble captura imagens através de sensores eletrônicos com particularidades próprias. Ele o faz com diferentes filtros de cor, gerando imagens com informações de cor reais, com o detalhe de que os filtros que usa não são os mesmos que reproduziriam uma visão humana comum.

É por isso que imagens do Hubble podem ser mais interessantes que as captadas por telescópios óticos comuns, não apenas por sua maior resolução, mas porque as paletas de cores buscam realçar ao máximo a informação que pode ser transmitida. Os resultados são mesmo um tanto psicodélicos, pois permitem enxergar algo comumente oculto a simples vista.

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Psicodélico como um clipe do Gnarls Barkley com pulgas multicoloridas. Artificialmente.

Agora você sabe que pulgas não são roxas de verdade, o Predador é um alienígena que usa uma falsa paleta de 256 cores para realçar uma imagem em tons de preto e branco e as mais belas imagens do Hubble têm cores que não poderiam ser vistas a olho nu. Nada disso é realmente segredo, mas para descobrir estes detalhes é preciso mergulhar um pouco na fonte dos muitos arco-íris do muito pequeno e do incomensuravelmente grande que a ciência nos apresenta.

Ah sim, a mosca com óculos do clipe já foi criada por cientistas.

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O óculos foi cortado a laser para servir na cabeça de dois milímetros da mosca, como forma de promover a precisão de superior a um milésimo de milímetro da companhia alemã. E não, a mosca não é azul de verdade, mas isso você já sabia.

Nuclearoids: brinque de física nuclear

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Um jogo online de reação em cadeia. Em Nuclearoids, seu objetivo é explodir todos os núcleos atômicos corretos em cada nível, clicando em apenas um deles para iniciar a reação.

A brincadeira é uma referência a reações nucleares em cadeia, onde um núcleo atômico instável pode ser bombardeado por um nêutron, por exemplo, e ao se desintegrar lança mais nêutrons que por sua vez desintegram outros núcleos. Conceito um tanto complicado de expressar e entender em palavras, mas que o joguinho online deve transmitir em questão de segundos. A reação de desintegração, ou fissão dos núcleos, se feita do modo certo se torna uma reação em cadeia até que todos os núcleos, ou boa parte deles, tenha se dividido. Em um material radioativo e com uma massa significativa, a reação pode rapidamente liberar enormes quantidades de energia, no que conhecemos como bombas atômicas.

No joguinho, inofensivo, as primeiras fases são bem fáceis. É porque a matéria está de certa forma próxima da “massa crítica”, na qual a reação em cadeia pode ocorrer mesmo espontaneamente. Clicando em praticamente qualquer núcleo se assiste a um show de luzes. À medida que as fases vão avançando, criar uma reação em cadeia vai se tornando mais difícil.

O jogo não é uma lição de física nuclear rigorosa, e inclui “nuclearoids” com comportamento muito diferente de qualquer núcleo atômico – não que aqueles mais comuns sejam realmente modelos fiéis de átomos reais. Além da diversão, contudo, têm toda essa bagagem mais intuitiva de conceitos mais complicados.

Nuclearoids se soma a outros joguinhos excelentes como Orbitrunner, que dá uma noção das leis de Kepler, e Starlight, ensinando algo de astronomia.

O navio de Teseu e a impermanência do Carbono-14

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“Nenhum homem pode atravessar o mesmo rio duas vezes, porque [já] nem o homem nem o rio são os mesmos.” – Heráclito

“O navio com que Teseu e os jovens de Atenas retornaram de Creta tinha trinta remos, e foi preservado pelos atenienses até o tempo de Demétrio de Falero, porque eles removiam as partes velhas que apodreciam e colocavam partes novas, de forma que o navio se tornou motivo de discussão entre os filósofos a respeito de coisas que crescem: alguns dizendo que o navio era o mesmo e outros dizendo que não era.” – Plutarco

O paradoxo do barco de Teseu é ao mesmo tempo uma das doutrinas essenciais do Budismo: a impermanência, a consciência de que tudo está em fluxo constante. A profundidade deste conceito pode ser apreciada tanto filosoficamente quanto vislumbrada cientificamente, compreendendo melhor a datação por radiocarbono, conhecida também como teste de Carbono-14. É uma longa jornada que vai literalmente de estrelas a muitos anos-luz até a ponta de seus pés, mas àqueles dispostos a dedicar algum tempo e esforço a viagem valerá a pena.

Continue lendo: “O navio de Teseu e a impermanência do Carbono-14”

Constelações Humanas

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A exploração espacial é também uma fonte infindável de perspectivas da própria Terra. Nesta “Imagem Astronômica do Dia” da NASA, “constelações de luzes” se estendem pela vista da Estação Espacial Internacional. Não são estrelas: são aglomerados urbanos. Somos nós.

O nexo entre constelações no céu, vistas da Terra, e constelações na Terra, vistas do espaço, é fabuloso. Afinal, não só todos os elementos mais pesados que o hidrogênio foram produzidos em fornalhas e explosões estelares – pelo que, nunca é demais relembrar, somos literalmente poeira de estrelas –, mas parte desta poeira adquiriu consciência e criou essas luzes artificiais, visíveis a 320 km de altitude.

Navegue pela origem da energia que produziu estas constelações de luzes urbanas, e descubra um nexo ainda mais profundo. Embora a energia venha de fontes muito variadas, sua maior parte pode ser traçada de volta ao nosso próprio Sol, que com sua luz fixou há milhões de anos o carbono dos combustíveis fósseis ou movimentou bem recentemente o constante ciclo da água que move nossas usinas hidrelétricas. Como disse Richard Feynman sobre a madeira, essas fontes de energia são de certa forma a própria luz do Sol armazenada. Ao utilizarmos esta energia para iluminar artificialmente a noite, estamos liberando esta luz outra vez.

Estas constelações humanas também são, de certa forma, compostas de estrelas.

Atualização: Mais fotos de constelações humanas. Abaixo, o delta do Nilo.

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E a Europa:

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Como se as imagens não fossem suficientes, elas estão sendo publicadas via Twitter, diretamente da Estação Especial Internacional pelo astronauta Douglas Wheelock.

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